工程ODE—第七讲
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发布时间：2小时前
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时间：52分钟前
在前一课中，我们详细探讨了一阶线性齐次常微分方程的求解方法。本课将转向一阶线性非齐次常微分方程的全解分析。
2.4.2 非齐次常微分方程的解构
要理解一阶非齐次常微分方程的全解，首先需要知道其全解构成。根据定理2.4.1：
一阶非齐次常微分方程的全解由其对应的齐次方程的通解与一个特解之和构成。
具体到方程形式，非齐次项[公式]，对应的齐次方程为[公式]。如果一个齐次方程的通解为[公式]，一个特解为[公式]，那么非齐次方程[公式]的全解表达为[公式]。
接下来，我们会聚焦于求解特解[公式]，并引入关键的变易常数法。首先，通过积分因子法，将非齐次方程转化为恰当形式，然后确定原函数。以方程[公式]为例，通过计算和整理，我们得到显式解[公式]，其中红色部分是齐次部分，蓝色部分是特解部分，验证了定理。
2.4.2.3 变易常数法求特解
变易常数法是求解特解的高效工具。以一阶非齐次方程的通解[公式]为基础，通过变易常数[公式]，构造特解[公式]，其中[公式]。通过代入和化简，我们可以得出特解[公式]，最终得到全解[公式]。
