ODE|常系数一阶线性微分方程组:一般理论
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时间：58分钟前
本文探讨常系数一阶线性微分方程组的求解，提供通用理论及常见思路。
方程组常见形式如下：
[公式]
此方程组可整理成更美观形式：
[公式]
定义列向量求导及记号如下：
[公式]
则原方程化为：
[公式]
回顾常系数线性微分方程：
[公式]
忽略[公式] ，研究齐次线性方程：
[公式]
解为[公式] 。原方程特解[公式] 写出所有解：
[公式]
考虑齐次方程组解是否指数形式：
[公式]
引入矩阵指数概念，通过幂级数定义：
[公式]
可形式求导：
[公式]
验证：
[公式]
其中[公式] 与[公式] 无关。
矩阵指数可利用矩阵乘法和分块运算理解：
[公式]
综合视角下，方程解形式为：
[公式]
定义标准基解矩阵：
[公式]
验证基解矩阵各列线性无关：
[公式]
基解矩阵各列线性无关，且当[公式] 时，[公式] ，定义标准基解矩阵。
Wronsky行列式定义如下：
[公式]
计算行列式值，判断线性相关性。
行列式求导技术细节：
[公式]
验证Wronsky行列式导数：
[公式]
利用Wronsky行列式导数，推导Liouville公式：
[公式]
通过Liouville公式验证解线性无关性。
验证标准基解矩阵各列线性无关：
[公式]
通解形式为：
[公式]
解决非齐次方程特解：
[公式]
特解表示：
[公式]
通解：
[公式]
初值条件：
[公式]
理论与实际计算：
理论指导实际，但计算挑战巨大。下文将集中讨论计算方法。
