...△ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD=2DC,CE=2EA,AF=2FB...
发布网友
共1个回答
热心网友
（1）过点C作CG∥PE，交AD的延长线于G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，
∴BF=AE=CD．
在△ADC和△CFB中，
AC＝CB∠ACD＝∠CBFCD＝BF，
∴△ADC≌△CFB，
∴∠DAC=∠FCB，
∴∠DRC=∠DAC+∠ACR=∠FCB+∠ACR=60°．
同理：∠APE=60°．
∵CG∥PE，∴∠G=∠APE=60°，
∴△GRC是等边三角形，
∴GR=GC=RC．
在△AEP和△CDR中，
∠PAE＝∠RCD∠APE＝∠CRDAE＝CD，
∴△AEP≌△CDR，
∴AP=CR，PE=RD．
设AP=x，则CR=RG=GC=x．
∵CG∥PE，
∴△APE∽△AGC，
∴APAG=PEGC=AEAC=13．
∴AG=3AP=3x，GC=3PE=x即PE=x3，
∴PR=AG-AP-RG=3x-x-x=x，RD=PE=x3，
∴AP：PR：RD=x：x：x3=3：3：1．
故答案为：3：3：1．
（2）连接PC，如图2．
∵∠QPR=∠APE=60°，∠QRP=∠DRC=60°，
∴△QPR是等边三角形，
∴QR=PR，
∴QR=RC，
∴S△PQR=S△PCR．
∵S△PCRS△CAD=PRAD=xx+x+x3=37（高相等），
S△CADS△ABC=CDBC=13，
∴S△PCRS△ABC=S△PCRS△CAD?S△CADS△ABC=37×13=17．
∵S△ABC=1，
∴S△PCR=17，
∴S△PQR=17．
故答案为：17．
