数列问题,求an
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发布时间：2024-10-21 15:38
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时间：8分钟前
数列问题中，若已知数列首项 \(a_1 = 1\)，以及数列从第二项起，每一项与前一项之差为 \(1/3\) 的某次幂，即 \(a_{n} - a_{n-1} = (1/3)^{n-1}\)，我们要求解数列的第 \(n\) 项 \(a_n\)。
为了求得 \(a_n\)，我们将数列的每一项与前一项之差相加，得到：
\(a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + ... + (a_n - a_{n-1})\)
将已知的数列差值代入，得到：
\(a_n = 1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^{n-1}\)
这是一个等比数列求和问题。对于等比数列求和公式，有：
当比值 \(q = 1/3 < 1\) 时，数列求和公式为：
\(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)
将已知的首项 \(a_1 = 1\) 和比值 \(q = 1/3\) 代入求和公式，得到：
\(a_n = \frac{1(1-(1/3)^n)}{1-(1/3)}\)
化简后得到：
\(a_n = \frac{3}{2}(1-(1/3)^n)\)
因此，数列的第 \(n\) 项 \(a_n\) 的表达式为：
\(a_n = \frac{3}{2}(1-(1/3)^n)\)
