伴随矩阵和逆矩阵有何不同?

发布网友 发布时间：2024-10-21 17:25

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热心网友 时间：2024-11-11 01:01

一、数学原理不同

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念 [1]  。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对*矩阵不存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法 。

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。两个可逆矩阵的乘积依然可逆，矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

二、性质不同

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

可逆矩阵一定是方阵，如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A，记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

扩展资料：

逆矩阵的证明：

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O。

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。

参考资料来源：百度百科-逆矩阵

参考资料来源：百度百科-伴随矩阵