请问函数y=e^x(c1x+c2)为什么是y"-2y'+y=0的解,谢谢

发布网友 发布时间：2024-10-23 20:59

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热心网友 时间：2024-11-01 17:20

首先，我们将函数 $y=e^{x(c_1x+c_2)}$ 分别对 $x$ 求导两次，得到：
$y'=(c_1+2c_2x)\ e^{x(c_1x+c_2)}$
$y''=(c_1^2+4c_1c_2x+4c_2^2x^2)\ e^{x(c_1x+c_2)}$
将上述导数代入 $y''-2y'+y=0$，得到：
$(c_1^2-2c_1+1)e^{x(c_1x+c_2)}=0$
由于 $e^{x(c_1x+c_2)}$ 不为零，因此上式只有当 $c_1^2-2c_1+1=0$ 时成立。
解出 $c_1=1$，即：
$y=e^{x(c_1x+c_2)}=e^{x(x+c_2)}$
所以，$y=e^{x(x+c_2)}$ 是 $y''-2y'+y=0$ 的解。
至于 $c_1^2-2c_1+1=0$ 的解为 $c_1=1$，可以通过求解一元二次方程 $c_1^2-2c_1+1=0$ 来得到。

热心网友 时间：2024-11-01 17:12

这个是根据特征方程求解的特征值相等时的解的形式啊。常微分方程的特征方程各种解的形式都是固定的

热心网友 时间：2024-11-01 17:18

首先，计算函数 y=e^{x(c_1x+c_2)}y=ex(c1x+c2) 的一、二阶导数：
y'=(c_1+2c_2x)e^{x(c_1x+c_2)},\ \ y''=(c_1^2+4c_1c_2x+4c_2^2x^2)e^{x(c_1x+c_2)}y′=(c1+2c2x)ex(c1x+c2), y′′=(c12+4c1c2x+4c22x2)ex(c1x+c2)
将 yy 的导数带入 y''-2y'+y=0y′′−2y′+y=0，有：
\begin{aligned} y''-2y'+y&=(c_1^2+4c_1c_2x+4c_2^2x^2)e^{x(c_1x+c_2)}-2(c_1+2c_2x)e^{x(c_1x+c_2)}+(e^{x(c_1x+c_2)}) \\ &= e^{x(c_1x+c_2)}[c_1^2+4c_1c_2x+4c_2^2x^2-2(c_1+2c_2x)+1] \\ &= e^{x(c_1x+c_2)}[(c_1-1)^2] \end{aligned}y′′−2y′+y=(c12+4c1c2x+4c22x2)ex(c1x+c2)−2(c1+2c2x)ex(c1x+c2)+(ex(c1x+c2))=ex(c1x+c2)[c12+4c1c2x+4c22x2−2(c1+2c2x)+1]=ex(c1x+c2)[(c1−1)2]
因此，y=e^{x(c_1x+c_2)}y=ex(c1x+c2) 是 y''-2y'+y=0y′′−2y′+y=0 的解。