已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值
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发布时间：2024-10-23 23:52
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时间：2024-10-27 14:09
解：本题利用条件极值构造Lagrange函数
目标函数是f(x,y,z)=xyz，约束条件是G(x,y,z)=x+y+z-7，H(x,y,z)=x²+y²+z²-17
所以构造Lagrange函数
L(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)-λG(x,y,z)-μH(x,y,z)=xyz-λ(x+y+z-7)-μ(x²+y²+z²-17)
当∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂z=0、G=0、H=0时，所求条件极值存在于此时的解(x0,y0,z0,λ0,μ0)
(1)∂L/∂x=yz-λ-2μx=0
(2)∂L/∂y=zx-λ-2μy=0
(3)∂L/∂z=xy-λ-2μz=0
(4)x+y+z=7
(5)x²+y²+z²=17
由(4)²-(5)可知xy+zy+zx=(7²-17)/2=16，那么(1)+(2)+(3)可得16=3λ+14μ
因为xyz=λx+2μx²=λy+2μy²=λz+2μz²，由λx+2μx²=λy+2μy²得[2μ(x+y)+λ](x-y)=0，同理有[2μ(y+z)+λ](y-z)=0、[2μ(z+x)+λ](z-x)=0
i)若x-y=0，即x=y，约束条件变为2x+z=7，2x²+z²=17，解得x=y=8/3，z=5/3或x=y=2，z=3，此时xyz最大值为2*2*3=12。y=z或者z=x同理可得最大值为12！！
ii)若x≠y≠z，则只能2μ(x+y)+λ=0，2μ(y+z)+λ=0，2μ(z+x)+λ=0。相加可得28μ+3λ=0
联立16=3λ+14μ、28μ+3λ=0可得：λ=32/3，μ=-8/7
代回2μ(x+y)+λ=0，2μ(y+z)+λ=0，2μ(z+x)+λ=0中可得：x+y=y+z=z+x=14/3，所以x=y=z=7/3，但这与x²+y²+z²=17矛盾，舍去！！
综合上述：当x=y=3，z=2或y=z=3，x=2或z=x=3，y=2时，xyz有最大值12！！
