直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的...

发布网友 发布时间：2024-10-23 20:36

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热心网友 时间：2024-11-11 03:12

1、∵C1M⊥平面A1ABB1，

A1B∈平面AA1B1B，

∴C1M⊥A1B，

∵AC1⊥A1B，（已知），

C1M∩AC1=C1，

∴A1B⊥平面AC1M，

∵AM∈平面AC1M，

∴A1B⊥AM。

2、∵M、N分别是A1B1和AB的中点，

A1B1=AB，A1B1//AB，

∴MB1//AN，MB1=AN，

∴四边形ANB1M是平行四边形，

∴B1N//AM，

∵四边形ANMA1是平行四边形，

∴MN//AA1，MN=AA1，

∵AA1//CC1，AA1=CC1，

∴MN=CC1，MN//CC1，

∴四边形MNCC1是平行四边形，

∴C1M//CN，

∵C1M∩AM=M，CN∩NB=N，

∴平面AMC1//平面NB1C。

3、由前所述，A1B⊥平面AMC1，

而平面NB1C//平面AMC1，

则A1B⊥平面NB1C，

B1C∈平面NB1C，

∴A1B⊥B1C，即A1B和B1C所成角为90度。

热心网友 时间：2024-11-11 03:09

证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形，
∴MC1∥CN，
∵MC1⊂平面AMC，CN⊄平面AMC1，
∴CN∥平面AMC1，
∵CN⊂平面B1CN，B1N⊂平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面B1CN∥平面AMC1；
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
BB1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵A1B1∩BB1=B1，A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B，
∵A1B⊂平面AA1B1B，
∴C1M⊥A1B，
又∵AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，C1M、AC1⊂平面AC1M，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM．