...ABCD中,点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点(与点A、B、C不重合)且...
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发布时间：2024-10-23 22:23
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时间：2024-10-25 04:03
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，
∵BP=BQ，
∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，
∴∠BPQ=45°，
∵CE为正方形外角的平分线，
∴∠APQ=∠QCE=135°，
∵AQ⊥QE，
∴∠CQE+∠AQB=90°，
又∵∠PAQ+∠AQB=90°，
∴∠PAQ=∠CQE，
在△APQ和△QCE中，
∠PAQ＝∠CQEAP＝CQ∠APQ＝∠QCE，
∴△APQ≌△QCE（ASA）；
（2）解：∵△APQ≌△QCE，
∴AQ=EQ，
∵AQ⊥QE，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠QAE=45°；
（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，
∵∠QAE=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠QAF，
在△AQF和△AGF中，
AQ＝AG∠GAF＝∠QAFAF＝AF，
∴△AQF≌△AGF（SAS），
∴QF=GF，
∵QF∥CE，
∴∠CQF=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=CF，
∵BQ=x，
∴CQ=CF=2-x，
∴DF=2-（2-x）=x，
∴QF=GF=2x，
在Rt△CQF中，CQ2+CF2=QF2，
即（2-x）2+（2-x）2=（2x）2，
解得x=2-2，
∴△AGF的面积=12×2（2-2）×2=4-22，
即△AQF的面积为4-22．
