一道初中奥数题 已知实数a、b、c、d满足a²﹢b²=1,c²+d²=...
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发布时间：2024-10-23 22:16
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时间：9分钟前
设a,b,c,d都是实数，如果a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd，证明a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd。反过来的结论也成立。
证明 [证充分必要条件]，注意到恒等式:
(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8
=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2
因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd, 则有
(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0，
由于a,b,c,d都是实数，故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数。
从而得: a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd，反过来证明也一样。证毕。
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时间：1分钟前
解:
可设
a=sinx, b=cosx.
c=siny, d=cosy.
由ac+bd=0可得
cosxcosy+sinxsiny=0
即cos(x-y)=0
∴x-y=90º
∴x=90º+y
[[1]]
a²+c²
=sin²x+sin²y
=sin²(90º+y)+sin²y
=cos²y+sin²y
=1
[[2]]
同理可证,正确.
[[3]]
ab+cd
=sinxcosx+sinycosy
=sin(90+y)cos(90+y)+sinycosy
=-sinycosy+sinycosy
=0
[[4]]
ad+bc
=sinxcosy+cosxsiny
=sin(x+y)
=sin(90+2y)
=sin2y.
易知,此时未必是0.
∴这个错了.
综上1,2,3是对的.
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时间：6分钟前
设a,b,c,d都是实数，如果a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd，证明a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd。反过来的结论也成立。
证明 [证充分必要条件]，注意到恒等式:
(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8
=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2
因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd, 则有
(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0，
由于a,b,c,d都是实数，故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数。
从而得: a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd，反过来证明也一样。证毕。
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时间：2分钟前
解:
可设
a=sinx, b=cosx.
c=siny, d=cosy.
由ac+bd=0可得
cosxcosy+sinxsiny=0
即cos(x-y)=0
∴x-y=90º
∴x=90º+y
[[1]]
a²+c²
=sin²x+sin²y
=sin²(90º+y)+sin²y
=cos²y+sin²y
=1
[[2]]
同理可证,正确.
[[3]]
ab+cd
=sinxcosx+sinycosy
=sin(90+y)cos(90+y)+sinycosy
=-sinycosy+sinycosy
=0
[[4]]
ad+bc
=sinxcosy+cosxsiny
=sin(x+y)
=sin(90+2y)
=sin2y.
易知,此时未必是0.
∴这个错了.
综上1,2,3是对的.
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时间：6分钟前
这个题用代数法最简单：假设a=0，b=1，c=1，d=0，那么能够符合题目所给条件
依次代入①a²+c²=1
②b²+d²=1
③ab+cd=0
④ad+bc=0+1=1
所以很明显①②③是正确的，④是错误的
