已知:x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=2,x^3+y^3+z^3=3,求1/x+1/y+1/z的值

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:27

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热心网友 时间：2024-10-29 05:04

首先 1/x + 1/y + 1/z = (xy+yz+zx)/xyz
因此想办法求 xy+yz+zx 以及 xyz

A: x+y+z=1
B: x^2+y^2+z^2=2
C: x^3+y^3+z^3=3

方程 A 两端同时平方 得到
(x+y+z)^2 = 1
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) = 1

将方程B 代入到上面式子中 得到
2 + 2(xy+yz+zx) = 1
D: xy+yz+zx = -1/2

对方程A两端同时立方 得到
(x+y+z)^3 = 1
x^3 + y^3 + z^3 + 3(yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2) + 6xyz = 1
将方程C代入
3 + 3(yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2) + 6xyz = 1
E: 3(yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2) + 6xyz = -2

方程A和B相乘
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) = 1*2
x^3 + y^3 + z^3 + (yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2) = 2
方程C代入到上面式子中
3 + (yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2) = 2
F: yx^2+zx^2 + xy^2+zy^2 + xz^2+yz^2 = -1

将关系式F 代入到关系式E中
3*(-1) + 6xyz = -2
G: xyz = 1/6

将关系式 D 和 G 代入所求式子中
1/x + 1/y + 1/z
= (xy+yz+zx)/xyz
= (-1/2)/(1/6)
= -3