D为正整数,求证:2D-1,5D-1,13D-1不可能都是完全平方数
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发布时间：2022-04-23 10:57
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热心网友
时间：2023-07-10 03:25
设 2d－1＝x^2
（1）
5d－1＝y^2
（2）
13d－1＝z^2
（3）
其中x、y、z是自然数．
由（1）式得，x必是奇数，假如我们设x＝2n－1．那么2d－1＝（2n－1）^2，
所以d＝2n^2－2n＋1
（4）
即d也必是奇数．
所以y、z都是偶数，设y＝2a，z＝2b，
5d－1=4a^2 (5),
13d－1=4b^2 (6),
(6)-(5)得：8d=4b^2-4a^2,
所以2d＝b^2－a^2＝（b＋a）（b－a）
因为2d是偶数，所以b^2-a^2是偶数，所以a、b奇偶性相同，从而b＋a和b－a都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，假设不成立，命题得证。
热心网友
时间：2023-07-10 03:26
你设D为一个具体数来举例证明吧.
