如何求函数的极限?(高中)

发布网友 发布时间:2022-04-20 09:02

我来回答

4个回答

热心网友 时间:2022-07-13 06:16

1、利用函数的连续性求函数的极限(直接带入即可)

如果是初等函数,且点在的定义区间内,那么,因此计算当时的极限,只要计算对应的函数值就可以了。

2、利用有理化分子或分母求函数的极限

a.若含有,一般利用去根号

b.若含有,一般利用,去根号

3、利用两个重要极限求函数的极限

()

4、利用无穷小的性质求函数的极限

性质1:有界函数与无穷小的乘积是无穷小

性质2:常数与无穷小的乘积是无穷小

性质3:有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小

5、分段函数的极限

求分段函数的极限的充要条件是:

参考资料:百度百科-函数极限

热心网友 时间:2022-07-13 06:16

第一种:利用函数连续性:lim f(x) = f(a) x->a

(就是直接将趋向值带出函数自变量中,此时要要求分母不能为0)

第二种:恒等变形

当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,可以通过下面几个小方法解决:

第一:因式分解,通过约分使分母不会为零。

第二:若分母出现根号,可以配一个因子使根号去除。

第三:以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的,如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的最高次方。(通常会用到这个定理:无穷大的倒数为无穷小)

当然还会有其他的变形方式,需要通过练习来熟练。

第三种:通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

扩展资料

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1.夹*定理:(1)当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域,有个符号打不出)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立

(2)g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么,f(x)极限存在,且等于A

不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法。

2.单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ,并且要满足极限是趋于同一方向 ,从而证明或求得函数 的极限值。

3.柯西准则

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时,都有|am-an|<ε成立。



热心网友 时间:2022-07-13 06:17

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=A,limg(x)=B,则

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=A・B

lim==(B≠0)

(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:

1.直接代入法

对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。

(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。

3.除以适当无穷*

对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

4.有理化法

适用于带根式的极限。

二、利用夹*准则求极限

函数极限的夹*定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>N)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x);②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=A(或g(x)=A)。(类似的可以得数列极限的夹*定理)
利用夹*准则关键在于选用合适的不等式。


三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x;tanx~x;1-cosx~x;e-1~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;arctanx~x;(1+x)-1~x。

等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。

热心网友 时间:2022-07-13 06:17

一、利用极限四则运算法则求极限。函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=a,limg(x)=b,则。lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=a±b。lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=a・b。lim==(b≠0)。(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:1.直接代入法。对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。2.无穷大与无穷小的转换法。在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量。圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。3.除以适当无穷*。对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。4.有理化法。适用于带根式的极限。二、利用夹*准则求极限。函数极限的夹*定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>n)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x)。②f(x)=h(x)=a(或f(x)=h(x)=a),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=a(或g(x)=a)。(类似的可以得数列极限的夹*定理)。利用夹*准则关键在于选用合适的不等式。三、利用单调有界准则求极限。单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。四、利用等价无穷小代换求极限。常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x。tanx~x。1-cosx~x。e-1~x。ln(1+x)~x。arcsinx~x。arctanx~x。(1+x)-1~x。等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。五、利用无穷小量性质求极限。在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。六、利用两个重要极限求极限。使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。七、利用洛必达法则求极限。如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。

声明声明:本网页内容为用户发布,旨在传播知识,不代表本网认同其观点,若有侵权等问题请及时与本网联系,我们将在第一时间删除处理。E-MAIL:11247931@qq.com