高中导数压轴题 底下扩展的第三问怎么做
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发布时间：2022-04-20 07:47
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时间：2023-10-15 19:10
已知函数f(x)=x^3-x-√x.
(1)求函数y=f(x)的零点的个数；
(2)令g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx，若函数g(x)在(0,1/e)内有极值，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，对任意t∈(1，+∞)，s∈(0，1)，求证：g(t)-g(s)＞e+2-1/e．
(1)解析：∵函数f(x)=x^3-x-√x，其定义域为[0,+∞).
f(0)=0，∴x=0是y=f(x)的一个零点；
当x＞0时，f(x)=x(x^2-1-1/√x)，
设φ(x)=x^2−1−1/√x，
φ'(x)=2x+1/(2√x^3)＞0，∴φ(x)在(0，+∞)上单调递增．
又∵φ(1)=-1＜0，φ(2)=3-1/√2＞0，
故φ(x)在(1，2)内有一零点，
∴y=f(x)在定义域内有且仅有2个零点；
(2)解析：g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx=(ax^2+ax)/(x^3-x)+lnx
=ax(x+1)/[x(x+1)(x-1)]+lnx=lnx+a/(x-1)，
g(x)=lnx+a/(x-1)，其定义域是(0,1)∪(1,+∞)，
则g'(x)=1/x-a/(x-1)^2=[x^2-(2+a)x+1]/[x(x-1)^2]，
设h(x)=x^2-(2+a)x+1，
要使函数y=g(x)在(0,1/e)内有极值，则h(x)=0有两个不同的根x1，x2，
∴△=(2+a)^2-4＞0，得a＞0或a＜-4，且一根在(0,1/e)内，
不妨设0＜x1＜1/e，
又∵x1x2=1，
∴0＜x1＜1/e＜e＜x2，
∵h(0)=1，则只需h(1/e)＜0，即1/e^2−(a+2)•1/e+1＜0，
解得a＞e+1/e-2，
∴实数a的取值范围为（e+1/e-2,+∞）；
(3)证明：∵g(x)=lnx+a/(x-1)，其定义域是(0,1)∪(1,+∞)，
由(2)可知，当x∈(0,x1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(x1,1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减，
∴y=g(x)在(0,1)内的最大值为g(x1)，即对任意s∈(0,1)，g(s)≤g(x1)，
又当x∈(1,x2)时，g'(x)＜0，g(x)递减，x∈(x2，+∞)时，g'(x)＞0，g(x)递增，
∴y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为g(x2)，即t∈(1,+∞)时，g(t)≥g(x2)，
由(2)可知x1+x2=2+a，x1x2=1，
x1∈(0,1/e)，x2∈(e,+∞)，
∵对任意s∈(0,1)，t∈(1,+∞)，有g(s)≤g(x1)，g(t)≥g(x2)，
g(s)+ g(x2)≤g(x1)+g(t)
∴g(t)-g(s)≥g(x2)-g(x1)
g(x2)-g(x1)=lnx2+a/(x2-1)-lnx1-a/(x1-1)
=ln(x2/x1)+a/(x2-1)-a/(x1-1)
=lnx2^2+x2-1/x2(x2＞e)，
令k(x)=lnx^2+x-1/x=2lnx+x-1/x，
k'(x)=2/x+1+1/x^2＞0，
∴k(x)在(e，+∞)内单调递增，
故k(x)＞k(e)=2+e-1/e，
∴g(t)-g(s)＞e+2-1/e．
热心网友
时间：2023-10-15 19:10
大致的解答：
在（2）的条件下，令 x1, x2 为y=g(x)的两个极值。
由（2）的解答可知，0<x1<1/e, x2>e， 且x1为极大值，x2为极小值。
因为函数y=g(x)只在x=1不连续，所以当0<s<1时，g(s)的最大值为g(x1), 当t>1时， g(t)的最小值为g(x2)。
所以g(t) - g(s) >= g(x2) - g(x1)。
而 g(x2)-g(x1) = [a(x1-x2) / (x1-1)(x2-1)] + lnx2 - lnx1
= [a(x1-x2) / (x1x2 - (x1+x2) + 1) ] + lnx2 - lnx1
= [a(x1-x2) / (1 - (a+2) + 1) ] + lnx2 - lnx1
= x2 - x1 + lnx2 - lnx1
> e - 1/e + lne - ln(1/e) ----------- 因为x2>e, 0 < x1 < 1/e
= e + 2 - 1/e
综上，g(t) - g(s) >= g(x2) - g(x1) > e + 2 - 1/e
希望有所帮助。
