北京市海淀区2020-2021学年九年级第一学期期末数学试卷

数 学 2021.1

学校 姓名 准考证号 1．本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分钟。 2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。 4. 在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 注 意 事 项

一、 选择题（本题共24分，每小题3分） 1．已知反比例函数yA．3

k的图象经过点A2,3，则k的值为 xB．4 C．5 D．6

2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是

A． B． C． D．

3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为 A．

1 3B．

1 2C．

2 D．1 34．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，

1 / 20

EADBC且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为 A．9 C．3

B．6 D．

3 2

5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是 A．x10 C．x210

B．x2x0 D．x210

FOE6．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC的长为 1A．π

41B．π

3ADBCC．

2π 3D．π

y7．已知二次函数yaxbxc的部分图象如图所示，则使得函

2数值y大于2的自变量x的取值可以是 A．-4

B．-2

21-2-1O12xC．0 D．2

8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是

A．长度为5的线段 B．斜边为3的直角三角形

C．面积为4的菱形 D．半径为2，圆心角为90°的扇形

2 / 20

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．

10．若点(1，a)，(2，b)都在反比例函数y（填“>”、“=”或“<”）．

11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB

与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．

12．关于x的一元二次方程x23xm0有一个根是x1，则m ．

13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活

率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：

移植总数 成活数量 成活频率 10 8 0.800 270 235 0.870 400 369 0.923 750 662 0.883 1500 1335 3500 3203 7000 6335 9000 8073 0.897 14000 12628 0.902 BOCA4的图象上，则a与b的大小关系是：a bx0.890 0.915 0.905 估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．

3 / 20

14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一

面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB =1.5 m，同时量得BC=2 m，CD=12 m，则旗杆高度DE= m．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，

将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 ，CE的长为 .

16．已知双曲线y3与直线ykxb交于点Ax1,y1，Bx2,y2． xDEBAEABCDC（1）若x1x20，则y1y2 ；

（2）若x1x2＞0时，y1y20，则k 0，b 0（填“>”、“=”或“<”）．

4 / 20

三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25

题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解方程：x24x30．

18．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．

（1）证明：△ABC∽△ACD；

（2）若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．

BCDA5 / 20

19．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，

CADBO请将以下推理过程补充完整．

图1

图2

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为r cm．

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ． 经测量，AB=90cm，CD=15cm，则AD= cm； 用含r的代数式表示OD，OD= cm． 在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：

r2 ，

解得r=75．

通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

20．文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店

员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：

6 / 20

混入“HB”铅笔数 盒数 0 6 1 m 2 n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ； （2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，

①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； ②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），

以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y1，求m和n的值． 4k(x0)的图象上． x（1）求反比例函数的解析式，并画出图象； （2）判断点C是否在此函数图象上；

（3）点M为直线过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若．．CD上一动点，

y987654321OAB12345678910xMNAB，直接写出点M横坐标m的取值范围．

7 / 20

22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相

切于点E，且E是AB中点，连接OA．

A（1）求证：OA=OB；

（2）连接AD，若AD=7，求⊙O的半径．

BDEOC

23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数yxbxc的图象上，点Qm,y2在一次函数yx4的图象上．

（1）若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．

2①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标； ②判断m0时，y1与y2的大小关系；

8 / 20

y54321–2–1O–1–212345x（2）若只有当m1时，满足y1y20，求此时二次函数的解析式． ．．

9 / 20

24.已知MAN45，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重

NNBBAC(E)MACMD合），点D在线段BC的延长线上，且CDCB．过点D作DE⊥AM于点E．

图1

图2

（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关

系是 ；

（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE； （3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式

表示线段AC、AE、DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．

10 / 20

25．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，

PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的

PMQN内联点．

图1 图2

在平面直角坐标系xOy中：

（1）如图2，已知点A(7,0)，点B在直线yx1上．

① 若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点_______是△AOB关于点B的内联点；

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

（2）已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E

的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围.

11 / 20

北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研

数 学 2021.1

参考答案

一、选择题 （本题共24分，每小题3分） 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 B 5 C 6 B 7 B 8 D 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．不唯一，例如：yx2 10．＞ 11．相切 12．2 13．0.9

14．9

12 / 20

15．45°；10 (注：第一个空2分，第二个空1分) 16．（1）0；（2）＜；＞．（每空1分）

三、解答题（本题共52分，第17~20题每题5分，第21~23题每题6分，第27~28题，每

小题7分） 17．解：方法一：

x24x410

……………………………………………………3分

x221

x21

x11,x23．

……………………………………………………5分

方法二：

b24ac4434.

2bb24ac42x, ……………………………………3分

2a2x11,x23．

……………………………………………………5分

方法三：

(x1)(x3)0 ………………………………3分

x10或x30

x11,x23．

……………………………………………………5分

18．（1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC． ………………………………………………1分

13 / 20

∵∠B=∠ACD=90°，

∴△ABC∽△ACD． ………………………………………………3分

（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，

∵AB=4，AC=5，

∴BCAC2AB23．………………………………………………4分 ∵△ABC∽△ACD， ∴

ABBC． ACCD43， 5CD∴

∴CD

15． ………………………………………………5分 419． 垂直于弦的直径平分弦； ………………………………………………1分 45； ………………………………………………2分

r15； ………………………………………………3分

452r15． ………………………………………………5分

20．（1）mn14． ………………………………………………2分 （2）①随机 ………………………………………………3分

②解：∵盒中混入1支‘HB’铅笔的概率为

21， 4∴m2015． ………………………………………………4分 414 / 20

∵mn14，

∴n9． ………………………………………………5分 21．（1）∵ 点B（4，2）在反比例函数y

k

的图象上， x

∴ k428，即该函数的解析式为y8(x0)． …………2分 x如图

y

AB Ox

（2）点C在反比例函数的图象上． （3）0m87 或 m8 22．（1）证明：在⊙O中，连接OE.

∵ 直线AB与⊙O相切于点E，

∴ OE⊥AB． ∵ E是AB中点，

∴ OA=OB． 15 / 20

…………3分…………4分 …………6分 分 …………2分

…………1 （2）解：∵ OA=OB，

∴ ∠OAE=∠B． ∵∠ACB=90°，

∴AE，AC是⊙O的切线， ∴∠OAE=∠OAC．（切线长定理） B∴ ∠OAE=∠OAC=∠B． ∵ ∠OAE+∠OAC+∠B=90°， ∴ ∠OAC=30°．

…………4分

设⊙O的半径为r，则CD=2r 在Rt△AOC中，AO=2OC=2r．

∴ ACAO2OC23r． 在Rt△ACD中，AC2CD2AD2，AD7， ∴

3r22r27，解得r1．

∴ ⊙O的半径为1． 23．（1）

① ∵ 二次函数yx2bxc的图象过点（0，4），（4，4），∴c4，164bc4． ∴ b4．

∴ 二次函数的解析式为yx24x4． ∵ yx22，

∴ 该二次函数的顶点坐标为（2，0）． ② y1y2，…………4分

（2）∵只有当m1时，y1y20，

∴当m1时，y1y20．

而点Q(m,y2)在一次函数yx4图象上，

16 / 20

AEDOC …………5分 …………6分 --------1分 …………2分 …………3分 y54321–112345x–1O

① 当m1时，y20，而y1y20，因此y10； ② 当1m4时，y20，而y1y20，因此y10； ③ 当m4时，y20，而y1y20，因此y10； ∵点P(m,y1)在二次函数yx2bxc的图象上， ∴当m1或4时，y10． …………5分

∴平移后的二次函数解析式为y(x1)(x4)x25x4

17 / 20

…………6分

24．（1）AC=DE； …………2分

（2）补全图形，

DACEMBN …………3分 证明：

法1：在射线AM上取点F，使AC=CF， ∵ AC=CF，BC=CD，∠BCA=∠DCF， ∴ △ABC≌△FDC． ∴ ∠DFE=∠A=45°． ∵ DE⊥AM，

ACEFMBN∴ DE=EF． ∵ AF=AE+EF=2AC，

∴ 2AC=AE+DE． …………5分

法2：作BF⊥AM于点F， ∵ BF⊥AM，DE⊥AM， ∴ ∠BFC=∠DEC=90°． ∵ CD=CB，∠BCF=∠DCE， ∴ △BCF≌△DCE． ∴ CF=CE，BF=DE．

DAFCEMBND∵ ∠MAN=45°， ∴ AF=BF=DE．

18 / 20

∴ AE+DE=AF+FE+DE=2(AF+FC)=2AC． …………5分 结论得证．

N（3）点E能在线段AC的反向延长线上，如图所示， 此时2AC+AE=DE． …………7分

DEBMAC25．（1）①O，C． …………2分

② 过点B作BH⊥x轴于点H，如图，

根据定义，若点H在线段OA上，则H为△AOB关于点B的一个内联点；若点H不在线段OA上，则对于线段OA上任意一点Q，其关于BH的对称点Q即为以B为圆心，BQ为半径的圆与直线AB的另一个交点，而点Q不在线段OA上，此时△AOB关于点B的内联点不存在．

19 / 20

y87654321–1O–112345H6A7xB因此要满足题意，H点必须在OA上． ∴点B的横坐标的取值范围是0xB7． 由于点B在直线yx1上，

所以点B的纵坐标n的取值范围是1n8． （2） …………5分

2285m0或5m． …………7分 555

20 / 20