锐角三角函数知识点

锐角三角函数知识点

锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数，本文是店铺整理锐角三角函数知识点的资料，仅供参考。

锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并

不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

(斜边为r，对边为y，邻边为x。)

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

锐角三角函数的性质

1、锐角三角函数定义

锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

平方关系：sin2α+cos2α=1

倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)

商的关系：tanα= , cotα=.

(这三个关系的证明均可由定义得出)

4、三角函数值

(1)特殊角三角函数值

(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时，

tanα>0, cotα>0.

锐角三角函数单元试测试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是

( D )

A.30米 B.10米 C. 米 D. 米

2.如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ，则两树间的坡面距离AB为

( C )

A. B. C. D.

3.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)

在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )

A.250m B. m C. m D. m

4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( C )

A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3

( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题)

5.如果∠A是锐角，且 ，那么∠A=( B )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 等腰三角形的一腰长为 ，底边长为 ，则其底角为( A )

A. B. C. D.

7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积

是( B )

A.150 B. C. 9 D. 7

8.在△ABC中，∠C=90°，BC=2， ，则边AC的长是( A )

A. B.3 C. D.

9.如图，两条宽度均为40 m的`公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图

中阴影部分)的路面面积是( A )

A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)

10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连结CD，若 tan∠BCD= ，则tanA=( C )

A.1 B. C. D.

( 第9题 ) ( 第10题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

11.已知 为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。

12.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。

13.一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，

∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米

(答案可保留根号)。

14.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为 ，旗杆底部

点的俯角为 .若旗杆底部 点到建筑物的水平距离BE=9 米，旗杆台阶高1米，

则旗杆顶点 离地面的高度为 米(结果保留根号)。

(第12题) (第13题) (第14题)

三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数

据计算回答:小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗?

(可能用到的参考数值:sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51)

15.作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°,在Rt ACD中，

CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)

所以小敏不会有碰头危险。

16.已知:如图，在 ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。求BC的长(结果保留根

号)。

16.解:过点A作AD⊥BC于点D。

在Rt△ABD中，∠B =45°，

∴AD = BD=AB sinB= 。

在Rt ACD中，∠ACD = 60°，

∴tan60°= ，即 ，解得CD = 。

∴BC = BD + DC = + 。

四、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)

17.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅

顶端B，测的仰角为 ，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的

仰角为 ，求宣传条幅BC的长，(小明的身高不计，结果精确到0.1米)

17.解: ∵∠BFC = ，∠BEC = ，∠BCF =

∴∠EBF =∠EBC = ， ∴BE = EF = 20

在Rt⊿BCE中，

答:宣传条幅BC的长是17.3米。

18.如图，甲船在港口 的北偏西 方向，距港口 海里的 处，沿AP方向以12

海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，

现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1

海里/时，参考数据 ， )

18.依题意，设乙船速度为 海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C

处，作 于 ，则 海里， 海里。

在 中， ，

。

在 中， ，∴ ，

∴ ，∴ 。

答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。

五、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)

19.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，

顶部不易到达)，他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你

在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。

(1)所需的测量工具是: ;

(2)请在下图中画出测量示意图;

(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x。

19.解:(1)皮尺、标杆。

(2)测量示意图如图所示。

(3)如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c

∵△DEF∽△BAC，∴ ，

∴ ，∴ 。

20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图，(图中 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE

的比)，∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效

数字，参考数据: ， )

20.52.0

六、(本大题满分8分)

21.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探

测点A、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图)，试确定生命

所在点 C 的深度.(结果精确到0.1米，参考数据: )

21.

七、(本大题满分8分)

22.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交

叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东

30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°。

(1)求B、D之间的距离;

(2)求C、D之间的距离。

22.解:(1)如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。

∵ AE∥BF∥CD，

∴ ∠FBC=∠EAC=60°.

∴ ∠DBC=30°。

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

∴ ∠ADB=15°。

∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。

即B，D之间的距离为2km。

(2)过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，

在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。

∴ DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1。

在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，

∴ CD=DO-CO= (km)。

即C，D之间的距离为 km。

八、(本大题满分10分)

23.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派

三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是

直线)向前跑到C点，再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D

点，再跳入海中。救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。

若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。

(参考数据 ， )

23.解:在 中， 。

。 。

在 中， ，

。 。

1号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，

2号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，

3号救生员到达B点所用的时间为 (秒)，

， 号救生员先到达营救地点B。

【锐角三角函数知识点集锦】