一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分） 1．
=（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
2．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i），则|z|=（ ） A．1 3．
B．2
C．
D．
2
=（ ）
A．4．
B． C． D．
的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84
5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ） A．14 B．8
C．6
D．4
6．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设P（x0，y0）是斜率不可能是（ ） A．0
B．2
C．3
x
图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的
D．4
8．函数f（x）=ecosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（ ） A．0
B．﹣1 C．1
D．
9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（ ） A．12 B．9
C．6
D．5
10．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（ ） A．4
B．8 C．9 D．10
- 1 -
11．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（ ） A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）=2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）
C．f（0）＜f（1）＜f（2）
12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A．60 B．48 C．42 D．36
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos2cos2cos…
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，
成等比数列．
===
；
；
；
15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为 ．
16．设f（x）=sinx+2xf'（
三、解答题（满分70分）
），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ．
17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．
（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程． 18．（ I）求（Ⅱ）设
的展开式中的常数项；
，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣
- 2 -
a3+…+a10）．
19．观察以下5个等式： ﹣1=﹣1 ﹣1+3=2 ﹣1+3﹣5=﹣3 ﹣1+3﹣5+7=4 ﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5 …
照以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*
） 20．已知函数f（x）=x3
﹣ax﹣1（a∈R） （ I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣
（ I）a=2，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性． 22．设函数φ（x）=ex
﹣1﹣ax，
（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围； （ III）证明不等式ex≥1+x+．
- 3 -
2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分） 1．
=（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34 【考点】D5：组合及组合数公式． 【分析】直接利用组合数公式求解即可． 【解答】解：故选：D．
2．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i），则|z|=（ ） A．1
B．2
C．
D．
2
==3+6+10+15=34．
【考点】A8：复数求模．
【分析】通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i），可得=﹣1﹣i，进而可得结论．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi， ∵（1+i）=（1﹣i）， ∴=∴z=﹣1+i， ∴|z|=故选：C． 3．
=（ ）
=
，
=
=
=
=
=
=﹣1﹣i，
2
2
A． B． C． D．
- 4 -
【考点】D4：排列及排列数公式． 【分析】根据排列数公式计算即可． 【解答】解：
=
==
．
故选：D． 4．
的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：
的展开式中通项公式：Tr+1=
x9﹣r
=（﹣1）r
x9﹣2r，
令9﹣2r=3，解得r=3． ∴x的系数=﹣故选：C．
5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ） A．14 B．8
C．6
D．4
3
=﹣84．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，按女生的数目分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C21=8种情况， ②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C22=6种情况， 则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14种； 故选：A．
- 5 -
6．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出． 【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0， ∴a=1，反之也成立．
∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件， 故选：A．
7．设P（x0，y0）是斜率不可能是（ ） A．0
B．2
C．3
D．4
图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项． 【解答】解：因为4∉[﹣2
，2
]，
，可得f′（x）=2
cos（2x+
）∈[﹣2
，2
]，
所以y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是：4． 故选：D．
8．函数f（x）=excosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（ ） A．0
B．﹣1 C．1
D．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求函数f（x）=ecosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率． 【解答】解：∵f′（x）=excosx﹣exsinx， ∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，
∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．
- 6 -
x
故选C．
9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（ ） A．12 B．9
C．6
D．5
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，二类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可 【解答】解：由题意将问题分为两类求解
第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A21×A31=6种
第二类，若乙与丙在B社区，则A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A3=3种 故不同的安排种数是6+3=9种 故选B
10．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（ ） A．4
B．8
C．9
D．10
1
【考点】67：定积分．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；
【解答】解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2） 根据题意画出图形，曲线y=x﹣3x和直线y=x围成图形的面积S=2（4x﹣x）dx =2（2x﹣x）|故选：B．
2
4
3
3
[x﹣（x﹣3x）]dx=2
3
=2（8﹣4）=8，
- 7 -
11．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（ ） A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）=2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）
C．f（0）＜f（1）＜f（2）
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】借助导数知识，根据（x﹣1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．
【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣1）f′（x）＞0 ∴有
或
，
即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数， 当x∈（﹣∞，1）时，f（x）为增函数 ∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1） ∴f（0）+f（2）＜2f（1） 故选：A．
12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A．60 B．48 C．42 D．36
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、
- 8 -
乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙． 【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法）， 剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；
则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求） 此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左） 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， ∴共有12×4=48种不同排法． 故选B．
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos2cos2cos…
【考点】F1：归纳推理．
【分析】根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来一般性结论． 【解答】证明：∵cos
=
，∴2cos
=
；
===
；
；
；
2cos=2=
2cos=2=，观察下列等式：
2cos2cos2cos
===
；
；
；
- 9 -
…
由上边的式子，我们可以推断： 2cos
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， 【考点】F3：类比推理；8G：等比数列的性质．
【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．
【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1， 则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28， T12=b1q∴
121+2++11
=（n∈N*）
， ，成等比数列．
=b1q，
=b1q，
438
1266
=b1q，
422
即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．
故答案为：
15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为 56 ．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】由题意知从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第几步是横向的，第几步是纵向的就可以，再进一步只要确定哪几步是横向走，问题转
- 10 -
化为数学问题，是一个从八个元素中选三个的一个组合．
【解答】解：∵从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的5步和纵向的3步， 只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以， 实际只要确定哪几步是横向走．
∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2…8步取出5步（横向走）的一个组合， ∴从A到B的最短路线共有C8=56条． 故答案为：56．
16．设f（x）=sinx+2xf'（【考点】63：导数的运算． 【分析】f（x）=sinx+2xf'（进而得出f'（
）．
），∴f'（x）=cosx+2f'（
），解得f'（
），
），可得f'（x）=cosx+2f'（
），令x=
，可得：f'（
），
），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（
）= ﹣1 ．
5
【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（令x=则f'（
，可得：f'（）=
）=cos
+2f'（=﹣1．
）=﹣，
+2×
故答案为：﹣1．
三、解答题（满分70分）
17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足
，求复数z．
（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程． 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】（Ⅰ）设出复数z=x+yi，根据
，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）
设复数z=x+yi，得到关于x，y的方程，整理判断即可． 【解答】解：（ I）设由所以∴
，
，
可得， ；
- 11 -
（ II）设复数z=x+yi， 由|Z+2|+|Z﹣2|=8， 得
其轨迹是椭圆， 方程为 18．（ I）求（Ⅱ）设a3+…+a10）．
【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】（ I）利用项求解即可；
（Ⅱ）利用赋值法，转化求解表达式的值即可． 【解答】（本题满分12分） 解：（ I）通项
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令20﹣﹣﹣﹣﹣ （ II）﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
- 12 -
，
．
的展开式中的常数项；
，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣
的展开式中的通项公式，通过x的幂指数为0，确定常数
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，解得r=8，常数项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．观察以下5个等式： ﹣1=﹣1 ﹣1+3=2 ﹣1+3﹣5=﹣3 ﹣1+3﹣5+7=4 ﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5 …
照以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*） 【考点】F1：归纳推理．
【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；
（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立． 【解答】解：（1）由已知中： ﹣1=﹣1 ﹣1+3=2 ﹣1+3﹣5=﹣3 ﹣1+3﹣5+7=4 ﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5 … 归纳可得：
第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6 …
第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）（2n﹣1）=（﹣1）n…
（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n （2n﹣1）=（﹣1）nn ①当n=1时，由已知得原式成立； … ②假设当n=k时，原式成立，
即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）=（﹣1）kk…
- 13 -
n
n
那么，当n=k+1时，
﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）+（﹣1）k+1 （2k+1） =（﹣1）kk+（﹣1）k+1 （2k+1） =（﹣1）（﹣k+2k+1） =（﹣1） （k+1） 故n=k+1时，原式也成立，
由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．
20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R） （ I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（ I）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，推出函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可． 【解答】（本题满分12分）
解：（ I）f'（x）=3x﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 若a≤0，f'（x）=3x﹣a≥0，f（x）在R上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 若
函数f（x）的递减区间为﹣﹣﹣﹣
（ II）由（1）知，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣
，递增区间为
﹣﹣﹣
22
k+1k+1
（ I）a=2，求函数f（x）的极值；
- 14 -
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（ I）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a，通过a与﹣的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．
【解答】（本题满分12分） 解：（ I）a=2，
当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增； x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减（ II）设g（x）=a﹣x﹣x，△=1+4a 若若当
，
，x2≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
．﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2
，x＞0
，无极小值，
当a＞0，x2＞0，函数﹣﹣﹣﹣
22．设函数φ（x）=e﹣1﹣ax，
（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围； （ III）证明不等式e≥1+x+
xx
．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值． （ II）φ'（x）=ex﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．
- 15 -
（ III）设函数
的单调性，（2）当x＞0时，设
=ex﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果． 【解答】（本题满分14分）
通过（1）当x≤0时，判断函数
，构造设h（x）
解：（ I）ϕ（x）=ex﹣1﹣x，ϕ'（x）=ex﹣1x＜0时，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）递减；
x＞0时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）递增ϕ（x）min=ϕ（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（ II）φ'（x）=ex﹣a
若a≤0，φ'（x）=e﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞） 上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓， （lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）无零点
当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，
∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e﹣1﹣2a ∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增 所以φ（2a）＞φ（2）=e﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点 所以，a的取值范围是（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ III）证明：设函数
2
2a
2
x
（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，0）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）当x＞0时，设
，
设h（x）=ex﹣x，h'（x）=ex﹣1＞0（x＞0）h（x）=ex﹣x在（0，+∞）上递增， ∴h（x）＞h（0）=1＞0即当x＞0时，
，
，f（x）在（0，+∞）上递增，﹣﹣﹣﹣
由（1）（2）知，f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0
- 16 -
即
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
- 17 -
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