因式分解之分组分解法

因式分解之分组分解法

学习目标

1. 理解分组分解法的概念和意义；

2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法； 3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.

学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；

2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.

自主学习 一. 创设情境

我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目： 分解因式：ax＋ay＋ab＋ac.

二．探索尝试

1.把上面的式子改为ax＋ay＋bx＋by，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？

归纳： .

三．类型举例.

把下列多项式分解因式：

1. 按字母特征分组（1）abab1 （2） a2－ab＋ac－bc

2. 按系数特征分组（1）7x23yxy21x （2）2ac6adbc3bd

3. 按指数特点分组（1）a29b22a6b （2）x2x4y22y

4.按公式特点分组（1）a2－2ab＋b2－c2 （2）a24b212bc9c2

1

四．总结规律

1.合理分组（2+2型）；

2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式）

4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.

五．练习巩固

1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有（ ） A．1种 B.2种 C.3种 D.4种

2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是（ ）

A.( a2c2)(b22bc)B.(a2b2c2)2bc222C.(D.a2(b2c22bc) ab)(c2bc)3．填空：

（1）ax＋ay－bx－by=(ax＋ay)－ ( ) =( ) ( )

（2）x2－2y－4y2＋x= ( )＋( ) =( ) ( )

（3）4a2－b2－4c2＋4bc= ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式

(1)5x26y15x2xy(2)7a2ab21a3b

22

(3)ax23x24a12 （4）9m－6m＋2n－n

（5）4x2－4xy－a2＋y2 （6）1―m2―n2＋2mn

2

因式分解之十字相乘法

一、 形成概念

1、 复习分解因式

分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式

一）填空：1）(x3)(x4) = ； 2）(x4)(x5)= 。 3）(y1)(y3)= ； 4）(xp)(xq)= 。

二）能否对x7x12、x9x20、y24y3、x2(pq)xpq进行因 式分解？ 它们有什么特点？ 特点：1）二次项系数是1；

2）常数项是两个数之积；

3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

2、 十字相乘法

步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况； （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数； （3）将原多项式分解成(xp)(xq)的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项的系数

二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式

3、 讲解例题 例1

22x6x5；a10a21；t4t5；x2x63。分解因式：1） 2） 3） 4）

2222分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个

因数。

例2

x5x6；x5x6；x5x6；x5x6。分解因式：1） 2） 3） 4）

2222分析：此例题中各式都有很大的相同之处。只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把

四个多项式分解因式。

3

4、 运用十字相乘法解一元二次方程 例3 解方程：

x6x70；x2x80；x7x12；x3x10。 1） 2） 3） 4）

分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，然后再求解。

例4 解方程：

1）x(x1)2； 2）(x1)(x3)15。

分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把它变成一般形式，然后再求解。

☆ 巩固练习：解方程：1）t(t3)28； 2）(x3)(x1)5；

二、练习

21）x5x60； 2）y17y300； 3）x10x16； 4）6x40x；

22222222x6x400。(p1)(p3)15；(y1)(y3)15；(x1)(x2)10；5）6）7） 8）

4