求三角函数最值的几种方法

维普资讯 http://www.cqvip.com 高中文学教与学　２００ｌ３年　求三角函数最值昀几种方法　孙秀河　（河北省南宫中学，０５５７５０）　三角函数的最值是对三角函数的概念、　・图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间基　本关系式、两角和、差三角公式的综合考查，　也是函数思想的具体体现，有广泛的实际应　用．下面举例介绍几种求三角函数最值的常　用方法．　一、利用三角函数的有界性　例１　求函数　＝　最值．　分析　由函数式　＝专　，得　（Ｙ一３）ｓｉｎ　ｚ＝一２　一１，　当Ｙ＝３时，原方程无解，所以Ｙ≠３．　・．．　ｓｉｎ　＝号　．　’｝　｝≤　，　‘一．．　４≤Ｙ≤寺．　・‘・．．　　Ｙｍａｘ：　３．Ｙｍｍ：一４．一・　一４’　二、把函数Ｙ＝ａｓｉｎ　＋ｂｃｏｓ　ｚ化为Ｙ＝　￣／口２＋ｂ２ｓｉｎ（ｚ＋　）　例２　求函数Ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋　ｓｉｎ　２　一１的　最值．　分析　＝ｓｉｎ＂　ｚ＋　ｓｉｎ　２　一１　：Ｌ地２　＋　●＾。㈨ｓｉｎ　２　一１１　＝：　二。　ｓ．ｎ２卫一ｌｎ　ｚ卫一　ｃｏｓ　２２ｘ』一一　２　＝ｓｉｎ（２ｚ一詈）一　１．　・・　一．１≤ｓｉｎ（２　一詈）≤１，　・２８・　一　．．≤ｓｉｎ（２　一詈）一　１　１，　．　１　３　一　～　，　一　’　三、利用配方法　通过配方法把三角函数的最值转化为二　次函数的最值，要注意区分有限制条件和无　限制条件两种类型和对隐含条件的挖掘．　例３　求Ｙ＝ｃｏｔ詈ｓｉｎ　＋ｃｏｔ　ｘｓｉｎ　２ｘ最　值．　分析　函数的定义域为　≠ｋｎ．　Ｙ　＝　—　五　ｓ１・ｎ　ｚ＋＿ＣＯＳＸｎ　ｚ十　‘．　２ｓ２ｓｉ‘ｎ　ＣＯＳ　＝１＋ｃｏｓ　＋２ａ　＝２（ｃＯｓ　ｚ＋｛）　＋舌，　故当ＣＯＳ　＝一　１时，　ｍｍ＝　７．　由于３－＂≠ｋｚｔ，故所给函数不存在最大值．　四、利用基本不等式法　利用基本不等式求函数的最值，要合理　的拆添项，凑常数，同时要注意取“＝”的条　件，否则会陷入误区．　例４　求函数Ｙ＝÷ｓｍ－ｘ　＋÷ＣＯＳ￣３Ｅ　的最值．　分析Ｙ＝｛ｓｉｎ＂３Ｅ＂　＋　４Ｑ　工　＝１＋ｃｏｔ２ｘ＋４（１＋ｔａｎ２　）　＝５＋ｃ０ｔ２　＋４ｔａｎ２　≥５＋２×２　：９，　当且仅当Ｏ０　ｚ＝４ｔａｎＺｘ，即ｃｏｔ　ｚ＝±　时等　号成立，故　＝９．　五、利用函数的单调性　维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期　高中文学囊与学　求三角函数的最值，如果注意考查其单　调性，有时也能容易解决问题，运用这种方　，　（２２）　，法，要注意三角函数本身的取值范围，并确定　函数的单调性．　例５　求函数Ｙ＝ａｓｉｎ　ｚ＋ｂ（ａ≠０）的　最值．　分析　函数Ｙ＝ａｃｔ＋ｂ，当ａ＞０时在　／／　…　，　图１　分析　如图１，Ｙ＝　可看作是　［一１，１］上为增函数，当ａ＜０时为减函数．　所以，当ａ＞０时，函数Ｙ＝ａｓｉｎ　ｚ＋ｂ的　最大值为ａ＋ｂ，最小值为一ａ＋ｂ；　当ａ＜０时，Ｙ＝ａｓｉｎ　ｚ＋ｂ最大值为一ａ　＋ｂ，最小值为ａ＋ｂ．　例６　求Ｙ　ｓｉｎ２ｘ＋上４ｓｉｎ２ｘ的最值・　分析　考虑到函数Ｙ＝ｚ＋　０＜ｓｉｎ２ｚ≤１，　定点（２，２）与动点（ｓｉｎ　ｚ，ＯＯＳ　ｚ）连线的斜率，　而动点（ｃｏｓ　ｚ，ｓｉｎ　ｚ）满足ｓｉｎ２ｚ＋∞ｓ２　＝１，　故问题转化为求定点（２，２）与单位圆上的点　的连线的斜率的最值，由数形结合不难得知，　连线与圆相切时取得最值．　易得　一：　八、分类讨论法　，　：　．　在（０，１］　上是单调减的，可利用函数单调性求最值．　・．　含参数的三角函数的值域问题，需要对　参数进行讨论，从而获得解决的办法．　・．．ｓｉｎ　ｚ＝１时，　＝１＋号＝导，该　２例９设ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ￣ｘ＋ａｓｉｎ　一号一　Ｉ　ｌ＝　函数不存在最大值．　六、利用换元法　（０≤ｚ≤号）　（１）用ａ表示ｆ（ｚ）最大值Ｍ（口）；　厂　一　对于表达式中同时含有ｓｉｎ　ｚ±ＣＯＳ　ｚ和　ｓｉｎ　ＸＣＯＳ　ｚ的函数，应考虑到关系（ｓｉｎ　ｚ±　ＯＯＳ　ｚ）　＝１±２ｓｉｎ　ＸＣＯＳ　ｚ，可利用参数ｔ表示　　旦２　（２）当Ｍ（ａ）＝２时，求ａ的值．　一＋　＋　分析　（１）由条件知ｆ（ｚ）＝　ｓｉｎ２ｘ＋　，　ｓｉｎ　ｚ±ＣＯＳ　ｚ，ｓｉｎ　ＸＣＯＳ　ｚ，转化成其它函数求　出最值．　ａｓｉｎ　ｚ一号＋　１．令ｓｉｎ　＝￡，则０≤￡≤１，　一　ｌ寸　一　日　旦４　４　＋　卜　例７　求函数Ｙ＝１＋ｓｉｎ　ｚ＋ＣＯＳ　ｚ＋　ｓｉｎ　ｚｏ０ｓ　ｚ的最值．　一２　一２　分析　设ｓｉｎ　ｚ＋ＣＯＳ　ｚ＝ｔ，ｔ∈［一　，　］，贝０　ｓｉｎ　ｚＣＯＳ　ｚ：王＝＿　／　．　当鲁≥１，即口≥２时，ｇ（￡）在［０，１］上递　增，　Ｍ（ａ）＝ｇ（１）＝　．　一　１；　所以　：１＋￡＋乏　：告（￡＋１）　．　故当ｔ＝一１时，　￡：　＝０，　时，　一：　当０≤詈≤１，即０≤口≤２时，ｇ（￡）在　［０，１］上先增后减，　七、利用数形结合　结合函数的特点，通过“数”与“形”的转　化，利用其几何意义来确定最值．　例８　求Ｙ＝　值．　Ｍ（ａ）＝ｇ（号）＝　ａ２一　ａ＋　；　当詈≤０，即口≤０时，ｇ（￡）在［０，１］上递　减．　・的最大值与最小　２９・　维普资讯 http://www.cqvip.com 高中数学教与学　２００ｌ３年　用判别式法解题的注意点　尹述喜　（北京市仁达中学。１０００９４）　口　＝　Ｍ　ｆ　）　ｇ　＝　ｒ●●●●●＜●一一　一　　一判别式Ａ＝ｂ　—４ａｃ的代数涵义是判别　一元二次方程Ｏ．３７　＋ｂｘ＋Ｃ＝０有无实根．随　方程有无实根．复系数一元二次方程不能用　判别式判别有无实数根．正确解法是：设其实　根为ｎ代人原方程，根据复数相等的充要条件　求得实数ｔ的值．　二、不要忘记使用判别式　ｌ一卜　２　口　ｌ一：２着对二次函数Ｙ：ａｘ　＋ｂｘ＋Ｃ的图象和性质　研究，判别式的几何涵义表现为判断抛物线　≤　口　＾　与　轴有无交点．作为一种重要的数学方法，　若能正确巧妙地运用判别式法，就能给人们　一２　例２　设方程ｚ２一（ｋ一２）ｚ＋（ｋ　＋３ｋ　种简单明快、耳目一新的感觉，但是，若不　＋５）＝０（ｋ∈Ｒ）的两个实根为ｚ１，ｚ２，求ｚ｛　＋ｚ；的最大值．　分析　这个题目很容易想到用一元二次　方程的根与系数的关系，忽视判别式，得出当　能正确地把握好使用判别式法解题的条件和　本质特征，就会造成错误．因此，对如何使用　判别式法解题的有关问题，必须引起我们注　意．　一ｋ＝一５时，ｚ｛＋ｚ；的最大值为１９的错误结　、注意使用判别式法解题的条件　论．其实，当ｋ＝一５时，原方程根本没有实数　根．此题的正确解法应该先由Ａ＝（ｋ一２）　一　ｒ　Ａ　１　例１　当实数ｔ为何值时，方程ｚ　＋（ｔ＋　２ｉ）ｘ＋（２＋ｔｉ）：０至少有一个实根？　分析　由题目的“一元二次方程”和“有　一４（ｋ　＋３ｋ＋５）≥０，求出ｋ∈ｌ＿４，一｛Ｉ，再　Ｌ　Ｊ　Ｊ　个实根”的条件，很容易得到由Ａ＝（ｔ＋　０，　得出ｔ∈　求出ｚ｝＋ｚ；的最大值为ｌ８．　三、防止解题过程中的非等价转换　例３　已知方程０　口＋（　一３）ＣＯＳ口＋　２ｉ）　—４（２＋ｔｉ）≥（一∞，一２　）Ｕ（２　，＋∞）的错误结论．　其实，判别式只能判别实系数一元二次　３—２ｍ＝０有实根，求实数的范围．　ａ＝３（舍），或ａ＝一２（舍）；　由一　ａ＋吉＝２，得口＝一６．　由（１）知所求的口的值为口：　，或口：　一６．　总之，三角函数是一种特殊的函数，用三　（２）由　一　２＝２，得口＝了１０；　角函数的特征加上函数的思想就是求最值的　方法．求三角函数的最值，关键在于善于观察　函数的特征，联系已有函数，巧妙的确定方　法．　由　一号＋吉＝２，得　・３０・