2018年考研数学三真题及解析

一、 选择题

1.下列函数中,在x 0处不可导的是()

A.fxxsinx B.fxxsinx C.fx?cosx D.fxcosx 答案: D 解析:方法一:

xsinxxfxf0limlimsinx0,可导 Alimx0x0x0xxxxsinxxfxf0limlimsinBlimx0x0x0xxxx0,可导

12xcosx1fxf02limlim0,可导 Climx0x0x0xxx1xcosx1fxf0limlim2不存在,不可导 Dlimx0x0x0xxx应选D. 方法二:

因为f(x)cosx,f01

1xcosx1fxf0limlimlim2不存在 x0x0x0xxxfx在x0处不可导,选D 对A:fx?xsinx在x 0处可导 对B:fx~?xxx在x 0处可导

32对C:f(x)cosx在x 0处可导.

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2.设函数fx在[0,1]上二阶可导,且fxdx0,则

01A当f'x0时,f10 B当f''x0时,210 D当f''x0时,21f0 21f0 2C当f'x0时,f答案D

【解析】

1fx在处展开可得

将函数21f''111fxff'xx,22222210fxdxf01221f''1111111f'xxdxf0f''xdx,22222222111故当f''(x)0时,fxdxf.从而有f0.022

选D。

3.设M21x21xdx,N2xdx,K21cosxdx,则 21x2e22A.M?N .K B.MKN. C.KMN. D.KNM. 答案: C

解析:M21x22xdx21dx21dx, 221x1x222N21xx1xdx1 ,因为所以ex1xxe2eK21cosxdx,1cosx1.21x11cosxxe即

所以由定积分的比较性质KM N,应选C.

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4.设某产品的成本函数CQ可导,其中Q为产量,若产量为Q0时平均成本最小,则()

AC'Q00 BC'Q0CQ0

C.C'Q0Q0CQ0 D.Q0C'Q0CQ0

答案

D

CQdCQC'QQCQ,由于CQ,2在QdQQ【解析】平均成本CQQQ0处取最小值,可知

Q0C'Q00.故选(D).

1105.下列矩阵中,与矩阵011相似的为

001111101A.011 B.011 001001111101C.010 D.010 001001答案: A

1101101解析:令P则010P010

00100111P1AP0100120101100010011001100101100010111010101001

101101选项为A

6.设A,B为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则

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Ar.A?ABrA B.rABA?rA

C.rAB? maxrA,rB D.rAB?rAT BT 答案:A

解析:易知选项C错

1100对于选项B举反例:取AB1

1112001100则BA,A,BA

3311337. 设随机变量X的概率密度fx满足

f1xf1x，且0fxdx0.6，

则PX0______．

(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6． 解 由f1xf1x知，概率密度fx关于x1对称，故

2PX0PX2，

且PX0P0X2PX21，由于P0X2fxdx0.6，

02所以2PX00.4，即PX00.2，故选项A正确．

8. 设X1,X2,,Xn为取自于总体XN,2的简单随机样本，令

1nXXi，S1ni11n(XiX)2，S2n1i11n(XiX)2， ni1则下列选项正确的是______．

(A)

nXStn； (B)

nXStn1；

nX(C)

S*tn； (D)

nXS*tn1．

4 / 14

解 由于Xn~N0,1，(n1)S22(Xi1niX)2~2(n1)，且X2n与

(n1)S22相互独立，由t分布的定义，得

nXS故选项B正确． 二、 填空题

X~t(n1)Sn，

9.曲线yx22lnx在其拐点处的切线方程为__。 答案y4x3

224【解析】函数fx的定义域为0,,y'2x,y''22,y'''3。

xxx令y''=0,解得x=1,而y'''10,故点(1,1)为曲线唯一的拐点。 曲线在该点处切线的斜率y'14,故切线方程为y4x3。 10.exarcsin1e2x__.

答案exarcsin1e2x1e2xC【解析】令t=ex,则原式=arcsin1t2dttarcsin1t2ttarcsin1t2t1t2111t2t1t2dt

dttansin1t21t2Cexarcsin1e2x1e2xC11.差分方程2yxyx5的通解______. 【答案】

yxc2x155 / 14

【解析】由于2yx=yx=yx+1yxyx+2yx+1yx+1yxyx+22yx+1yx，故原差分方程可化为yx+22yx+1=5,即yx+12yx5。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为yx+12yx5,其通解为yxc2x。设原差方程的特解yc1,代入原方程得c1-2c1=5,即c1=-5。所以原差分方程的通解为yxc2x15,c为任意常数。12.函数x满足xxx2xxxxx0,且02,则

1__.

答案 12e.

【解析】由x2xxxx,可知x可微,且'x=2xx。 这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为xcex;再由022,可得

c2。

2故

x2ex,12e。3

阶矩阵,1,2,3为线性无关的向量组,若

13.设A为

A12123，A2223,A323,可得

200。A1,2,31,2,3111

121由于1,2,3线性无关,故A200111=B，从而有相同的特征值。 1212223,

2因EB11001121故A的实特征值为2。

14.设随机事件A,B,C相互独立，且

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P(A)P(B)P(C)1， 2则P(ACAB)______．

解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得

P(ACAB)PACABP(AB)PACP(A)P(B)P(AB)PAPC P(A)P(B)P(A)P(B)11122.111132222三、 解答题

1x15.已知实数a,b,满足limaxbex2,求a,b。

x答案 a1,b1

abtet112, 【解析】令 t=,可得limt0xtabtet1aet1aet1t其中limlimlimbelimb

t0tt0tt0t0taet1aet12b,而要使得lim存在,必须有a1。可知lim t0t0ttaet1此时,有lim=1=2b,故b1.t0t综上,a1,b1。

16.设平面区域D由曲线分

y31x2与直线y3x及y轴围成。计算二重积

xdy。D2

3答案 322.

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【解析】I220dx231x3x2xdy222220x231x3xdx

2220x231xdx322200x3dx,

其中对于x231xdx,令xsint,可化为240333243sintcostdtsin2td2t808432222而0211333x3dxx42，综上I=2。 416321632017.将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

【解析】设分成的三段分别为x,y,z,则有xyz2及x,y,z>0，圆的面积为

S112132121232x，正方形的面积为S2=y2,正三角形的面积为S3=z，总面积为S=x+y+z，4163641636121232x+y+z的最小值。令41636则问题转化为在条件xyz2,x,y,z>0下,求函数

L=121232x+y+zxyz2,41636 Lxx=2023x3439Ly=083y8则有,解得唯一条件极值点为y，在该点的函数值即3439L=3z0z1818x3439L=xyz20为最小值,最小值为3+12+93343921nax1x1,求an. n18.已知cos2x21xn08 / 14

答案 a2n11n2n22n22n2,n0,1,2,n;

。

a2n122n122n2n112n12n1,n0,1,2,2n!2n!1【解析】将cos2x与-1+x22n展成幂级数可得

cos2x1n0n2x2n!n012x2n!n2n

x2n,x,11x

2nnn11'1x1n1xn,1x11xn0n0则

a2n112n22n22n2,n0,1,2,n2n;a2n122n!n2n122n112n12n!

2n1,n0,1,2,。

xx19.设数列Xn满足:x10,xnen1en1n1,2,.证明Xn收敛,并求

nlimxn.

证明:①证明x0,易证

n②再证Xn单减,由

exn1exn1exne0拉格朗日中值定理e,0,xnxnxn0

xn1xnxn单减有下界,由此得limxn存在x③设nlimxnA,则AeAeA1

A0

20.设实二次型fx1,x2,x3x1x2x3x2x3x1ax3,其中a是参数.

(1)求fx,x,x0的解;

123(2)求fx1,x2,x3的规范形.

2229 / 14

解析:(1)fx1,x2,x30而x1x2x30

x2x30,x1ax30由

111102得 A01101110a00a2当a2时,rA3,只有零解x1x2x30. 当a2时,rA2,方程有无穷多解, 通解为

x1x2为任意常数.

x2xk31,k1(2)由(1)知,当a2时A可逆,

y1x1令x2x3yxy22222x3,即YAX,则规范形为f1y2y3, y3x3当a2时,rA2,

y1x1x2令x3y22212322x2x3,则fy1y2y1y22y1y2y22y2,

3x3z112y12y2令z3,则得规范形为fz2222y21z2.

z3y312a121.已知a是常数,且矩阵A130可经初等变换化为矩阵B027a1(1)求a;

(2)求满足APB的可逆矩阵P. 解析:(1)

A经过初等列变换化为B

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a21111

rArB

12a12a1A13001a2aa033a01a27000rA2rB2

由B1a20111a20111a20111110a13002a得a=2.(2)令P1X1,X2,X3,Bb1,b2,b3

AP1AX1,X2,X3AX1,AX2,AX3b1,b2,b3

AXibii=1，2，3122122122122AB13001127211101211103633312212210634401211100000012111000000063AXbk6k1311的通解为X1=1212k11,k1为任意常数10k164AX6k242b2的通解为X2=k2212k21,k2为任意常数10k2646k34AXX3b3的通解为3=k3212k31,k3为任意常数

10k36k136k246k34 P1=2k11，2k21，2k31(其中k1,k2,k3为任意常数)k1k2k36k136k246k34P1=2k11，2k21，2k31=k3k2k1k2k3当

k2k3时,

P1可逆,取可逆11 / 14

矩阵

6k136k246k34P=2k11，2k21，2k31(k1为任意常数,k2k3)，使得AP=B. kk2k3122. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为

PX1PX11， 2（2）Z的Y服从参数为的泊松分布P．令ZXY，求（1）CovX,Z；概率分布．

解 （1）由题意，知

2111221EX110，EX111，

2222则DXEX2E2X1，且EY．于是，由协方差计算公式，得

CovX,ZCovX,XY2

EXEYEXEYEX2YEXEXY2EYDX.（2）随机变量ZXY的取值为0,1,2,，则

PZ0PX1,Y0PX1,Y01010eee,20!20!PZkPX1,Yk1ke,2k!PX1PY0PX1PY0

PX1PYk

同理，

PZkPX1,YkPX1PYk 1ke,2k!12 / 14

其中，k1,2,．

23 .总体X的概率密度为

1（x） fx,e，

2x其中0,为未知参数， X1,X2,,Xn为取自于总体X的简单随机样

本．记的最大似然估计量为，求（1）；（2）E,D．

解 （1）构造似然函数

Lfxi,i1nxinxi

n11i1enne,2i12方程两边取自然对数，得

lnLnln2xi1ni，

求上述方程的驻点，得

dlnLdnxi1ni20，

即最大似然估计量为Xi1nin．

（2）由期望的公式，得

EXxfx,dxx1 xedx2x12xedx，02同理，

13 / 14

2EX2x2fx,dxEXx1x2edx2 x12x2edx02x12xedx22,0222，则 由方差的公式，得DXEXEXnXiEEi1nEX， nXiDDi1n12DX． nn14 / 14