汕头金山中学2018—2019学年高二下学期第一次月考
理科数学
命题人：陈丽珊审题人：张学昭
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1、复数
A.-3 2、若
，
，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ） B.3
，
C.
D.
，则，，的大小关系为
A. 3、函数
B. C. D.
的图象大致是
A. B.
C. D.
4、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 A.
B.
C.
D. 3
5、如图，在正方体则下列判断错误的是()
A. C. 6、
中，分别是的中点，
B. D.
的展开式中的常数项为
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A. B. C. 6 D. 24
7、5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是( )
A. 40
8、已知实数x，y满足不等式组
，若
的最大值为3，则a的值为
B. 36
C. 32
D. 24
A. 1 B. C. 2D.
9、设
A. 16
B. 32
，其中x、，，1，，6，则
C. 64 ，
，
，
D. 128
，
，
，
，
10、已知“整数对”按如下规律排成一列：
，A.
，
，，则第222个“整数对”是
B.
C.
D.
，
，P是双
11、已知双曲线C：的左、右焦点分别为
曲线C右支上一点，且
A.
B.
若直线与圆相切，则双曲线的离心率为
C. 2 D. 3
12、已知a为常数，函数
A.
有两个极值点
B.
则（）
C.D.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)
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13、已知复数为虚数单位，那么z的共轭复数为______
14、甲、乙两人从6门课程中各选修3门则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有______ 种． 15、记等差数列项
得前n项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项
；类似地，记等比数列
的前n项积为
，末，
与项数的一个关系式，即
，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系
式，即公式16、已知
______ ．
的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足
，
则
面积的最大值为_________．
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17、(本小题满分共12分)设是数列
的前n项和，已知
，
．
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和．
18、(本小题满分共14分)已知函数
．
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当时，求曲线在处的切线方程；
过点作的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a的值．
19、(本小题满分共14分)如图，在四棱锥ABCD为菱形，
平面ABCD，
，
中，底面，E，F
分别是BC，PC的中点． Ⅰ证明：
；
，求
Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为二面角
的余弦值．
20、(本小题满分共14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离
心率为，直线l：上的点和椭圆O上的点的距离的最小值为1．
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Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知椭圆O的上顶点为A，点B，C是O上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，记直线AC与AB的斜率分别为，
．
求证：值；
为定
求的面积的最小值．
21、(本小题满分共16分)已知函数
(k
①若;
②若对都有f(x)求k范围;
③若且f(证明：;
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数学答案
BBAAD DBABC BA 13、
14、20015、
16、
17、解：因为，
所以当时，，
两式相减得，
所以，
当时，，
，
又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
故
由可得，
所以，
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故当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
综上故．
18、解：当时，，
，
，
所以切线方程为，
整理得；
设曲线的切点为，
则，
所以切线方程为．
又因为切点既在曲线上，又在切线上，
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所以联立得，
可得或，
所以两切线的斜率之和为，
．
Ⅰ证明：底面ABCD为菱形，三角形ABC为正三角形， 是BC的中点，又又而
，平面ABCD，
，
，
， 平面PAD，则于H，连HE，由
得
；
平面
，
，
Ⅱ解：过A作PAD
，即，
， ，则
．
以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
0，
，
0，
，
2，
，
1，
，
0，
，
．
0，，，
设平面AEF的法向量，
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由，取，可得；
又，平面AFC，
，，
故为平面AFC的一个法向量，
．
即二面角的余弦值为．
Ⅰ解：由题知，由，
所以．故椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，则，
因为点B，C关于原点对称，则，
所以；
解：直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，
令，得，
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而，
所以，的面积
．
由得，
则，当且仅当取得等号，
所以的面积的最小值为．
21、解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0， =lnx﹣k，
①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0， 函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值； ②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，
当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0， ∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），
在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值． （2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立， ∴f（x）﹣4lnx＜0，
即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立， 即k+1＞
对于x∈[e，e2]恒成立，令（gx）=
，
，则
，
令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则
∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）
＞0，
∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣要使k+1＞∴k+1＞2﹣
对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，
，即实数k的取值范围是（1﹣
，+∞）．
，
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证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，
在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，
+
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek1， 要证x1x2＜e2k，只要证x2＜
，即证
＜
，
），
∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜构造函数h（x）=f（x）﹣f（即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（
+
，
）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln
），x∈（0，ek） ）=（lnx﹣k）
﹣k﹣1），
，
∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek）， ∵
∴f（x1）＜f（
，故h（x）＜0，
），即f（x2）=f（x1）＜f（
），∴x1x2＜e2k成立．
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