带电粒子在磁场中运动的两种题型分析

河南 登封市第一高级中学 河南 登封 张会丽 452470 zhanghuili_0321@163.com

带电粒子在磁场中运动，是高中物理教学的重点也是每年各地高考的重要考点。规律虽是简单的匀速圆周运动，但题型变化多端，非常灵活，充分考察了学生是否能灵活运用所学知识解决实际问题的能力。笔者结合自己的教学实践，认真分析了大量的涉及带电粒子在磁场中运动的高考题和模拟题，特对带电粒子在磁场中运动的两种新题型进行分析总结，旨在让读者对这类题目有一个全面和整体的认识，发现这一类型的题目的解题技巧。 题型一、磁扩散和磁聚焦模型 1、如图所示，质量为m，电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0.现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求： (1)电子从y轴穿过的范围； (2)荧光屏上光斑的长度； (3)所加磁场范围的最小面积. v02ev，即R 解析：(1)：设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得： 0BmR mv0OM2R2电子从y轴穿过的范围 Be(2)：如图所示，初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点，初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点

mv0PQR 由几何知识可得 Be(3)：取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x,y)，因其射出后能垂直打到荧光屏MN上，故有：x=-Rsinθ y=R+Rcosθ 即x2+(y-R)2=R2

又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：

mv0231 SR2R2R2(1)()442Bemv0Be2、如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

（3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。 解析：（1）：带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。

设电场强度大小为E，由 mgqE 可得 E方向沿y轴正方向。

带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。 且 r=R

mgqmv2如图（a）所示，设磁感应强度大小为B。由 qvBR得 Bmv方向垂直于纸面向 qR（2）这束带电微粒都通过坐标原点。

方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图b所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点。

方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图b示，高P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为

xRsin2yRcos2R2

x=0 x=-Rsinθ 得： y=0 或 y=R(1+cosθ)

（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0 带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y同的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图c所示。靠近M点发射出来的带电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处国靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。

所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0.

总结：上两道题分别属于磁发散和磁会聚模型，这两种模型看似不同，但其实规律一样，磁发散时粒子从同一个点打出，但最后粒子都能以相同的速度垂直打到y 轴，初速度方向不同，打到y 轴的位置也不同。第二题是2009年浙江高考题，属于磁聚焦，初速度大小相同，方向互相平行，都汇聚于同一个点，显然属于磁聚焦。这两种题型好似凸透镜可以将平行光汇聚于同一个点即焦点，也可以将发于焦点的光变成平行光。

题型三；回旋问题

y 3、如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度

B2 B1 大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴v o 负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1

与B2的比值应满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个

圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有

x

r1＝ ① r2＝ ②

分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离 d＝2（r2－r1） ③

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。 设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足 nd＝2r1 ④

则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，„„为回旋次数。

由③④式解得 ⑤

由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件 n

＝1，2，3，„„⑥

4、如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y平面向外。P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点。A是一块平行于x轴的挡

板，与x轴的距离为，A的中点在y轴上，长度略小于

。带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y

方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。

【解析】设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为NO,与板碰撞后再次进入磁场的

位置为N1.粒子在磁场中运动的轨道半径为R,有

Rmv„⑴,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位qB置间距离x1保持不变有x1NONO2Rsin„⑵,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变,与

NON1相等.由图可以看出x2a„„⑶

设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3„).若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,即n1x1nx22a„„⑷,由⑶⑷两式得x1若粒子与挡板发生碰撞,有x1x2n2a„„⑸ n1a„„⑹联立⑶⑷⑹得n<3„„„⑺联立⑴⑵⑸得 4vqBn2a„„„⑻把sin2msinn1hah22代入⑻中得

qBaa2h2vo,n0„„„„⑼

mh3qBaa2h2v1,n1„„„„⑾

4mh2qBaa2h2v2,n2„„„„⑿

3mh总结：这两道题都是高考题，第三题是2006年高考理综全国卷Ⅱ25题，第四题是2009年高考理综全国卷Ⅰ26题，两题看起来不一样，但其实都是回旋问题，只是方式不同，第三题让粒子在磁感应强度不同的匀强磁场中回旋，而第四题则是借助一个绝缘板，让粒子打到绝缘板上的方式来实现回旋。都属于回旋模型。

从这两种类型的题来看，高考考察的重点是主干知识虽然是带电粒子在磁场中的运动，题目虽然灵活多变，但仔细分析，还会看到高考题目考察还是注重模型的。