94年高校招生全国数学统一考试
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ｉ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集Ｉ=｛0,1,2,3,4｝,集合A=｛0,1,2,3｝,集合B=｛2,3,4｝,则
A.｛0｝ B.｛0,1｝ C.｛0,1,4｝ D.｛0,1,2,3,4｝
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
3.极坐标方程ρ=cos(π/4-θ)所表示的曲线是
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
4.设θ是第二象限的角,则必有
A.tg(θ/2)＞ctg(θ/2) B.tg(θ/2)＜ctg(θ/2)
C.sin(θ/2)＞cos(θ/2) D.sin(θ/2)＜cos(θ/2)
5.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖
成
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
6.在下列函数中，以π/2为周期的函数是
A.y=sin2x+cos4x B.y=sin2xcos4x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2xcos2x
7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 A.32
B.28
C.24
D.20
8.设F1和F2为双曲线x2/4-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是
A.1 B.
/2 C.2 D.
9.如果复数Z满足│Z+i│+│Z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是
A.1 B.
C.2 D.
10.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同
的选法共有
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种
11.对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是
12.设函数f(x)=1-
(-1≤x≤0)，则函数y=f-1(x)的图象是
13.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是
A.16π/9 B.8π/3 C.4π D.64π/9
14.函数y=arccos(sinx)(-π/3＜x＜2π/3)的值域是
A.(π/6,5π/6) B.[0,5π/6) C.(π/3,2π/3) D.(π/6,2π/3)
15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果
f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题(本大题共5小题,共6个空格:每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)
16.在(3-x)7的展开式中,x5的系数是____(用数作答).
17.抛物线y2=8-4x的准线方程是____，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____.
18.已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是____.
19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为
，AB和
圆锥的轴的距离
为1,则该圆锥的体积为____.
20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据.我
们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较,a与各数据的差的平
方和最小.
依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____.
三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21.(本小题满分11分)
已知 z=1+i (1)设
,求ω的三角形式；
(2)如果
,求实数a,b的值.
22.(本小题满分12分)
以知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x1,x2∈(0,π/2),且x1≠x2, 证明：[f(x1)+f(x2)]/2＞f[(x1+x2)/2]
23.(本小题满分12分)
如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
24.(本小题满分12分)
已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的
对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．
25.(本小题满分14分)
设数列｛an｝的前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前3项；
(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令
(n∈N),求
参考答案：
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B 8.A 9.A 10.C 11.C 12.B 13.D 14.B 15.C
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算. 每空格4分,共24分) 16.-189 17.x=3,(x-2)2+y2=1 18.-3/4
19.2
π/3 20.(a1+a2+…+an)/n
三、解答题
21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力。
解:(1)
＝2i+3(1-i)-4＝-1-i
ω的三角形式是
(2)由z=1+i,有
(cos5π/4+isin5π/4)
由题设条件知 (a+2)-(a+b)i=1-i
根据复数相等的定义，得 a+2=1 解得 a=-1 -(a+b)=-1 b=2
22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力. 证明:
∵x1,x2∈(0,π/2), x1≠x2 ∴2sin(x1+x2)＞0,cosx1cosx2＞0
且0＜cos(x1-x2)＜1, 从而有
0＜cos(x1+x2)+cos(x1-x2)＜1+cos(x1+x2) 由此得 tgx1+tgx2＞2sin(x1+x2)/(1+cos(x1+x2)) ∴(tgx1+tgx2)/2＞tg((x1+x2)/2) 即 [f(x1)+f(x2)]/2＞f((x1+x2)/2)
23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力. (1)证明: ∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,
∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连结DE. 在△AB1C中,∵AD=DC, ∴DE∥AB1,
∴AB1∥平面DBC1.
(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1, 由(1)知AB1∥DE, ∴DE⊥BC1,
则BC1⊥EF, ∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=1/2. ∵△ABC是正三角形,
∴在Rt△DCF中, DF=DC·sinC=
/4,CF=DC·cosC=1/4
取BC中点G. ∵EB=EC, ∴EG⊥BC.
在Rt△BEF中, EF2=BF·GF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4
∴EF2=(3/4)·(1/4),即EF=
/4.
∴tg∠DEF=DF/EF=1 ∴∠DEF=45°.
故二面角α为45°.
24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题
的能力.
解:依题设抛物线C的方程可写为 y2=2px (p＞0),
且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为
y=kx (k≠0) ①
设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为
y=-(x+1)/k ②
由①②联立解得AA'与l的交点M的坐标为(-1/(k2+1),-k/(k2+1))
又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为
同理得点B'的坐标为
③
④
又A'、B'均在抛物线y2=2px(p＞0)上,由③得
但当 k=(1-
故舍去k2=(1-
设k=(1+
将k=(1+
所以直线方程为 y=(1+
)/2代入⑤，求得 p=2
/5
)/2,则直线方程为y=(1+
)/5
)/2 时，由③知XA=
/5＜0,这与A'在抛物线y2=2px(p＞0)上矛盾,
)x/2
)x/2 抛物线方程为 y2=4
x/5
25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题
的能力.
解：(1)由题意,当n=1时有 (a1+2)/2=
S1=a1
∴(a1+2)/2=
解得：a1=2.
当n=2时有(a2+2)/2=, S2=a1+a2将a1=2代入，整理得
(a2-2)2=16. 由a2＞0,解得 a2=6.
当n=3时有(a3+2)/2=
, S3=a1+a2+a3将a1=2,a2=6代入，整理得
(a3-2)2=64. 由a3＞0,解得 a3=10. 故该数列的前3项为2,6,10.
(2)解:由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是 an=4n-2 (n∈N). ①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有 (ak+2)/2=
将ak=4k-2代入上式,得 2k=
由题意,有
,解得Sk=2k2.
由ak+1＞0,解得: ak+1=2+4k. 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2.
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
(3)解:令cn=bn-1,则
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