九年级上学期期末复习压轴题(二次函数方法总结)

九年级培优班期末复习

——以二次函数为背景的压轴题解题方法

一、常见的类型及解题策略

1、【“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题】

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式

y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可

求得动线段长度的最大值及端点坐标。

2、【“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题】

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算（勾股定理）〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。 3、【三角形周长的“最值（最大值或最小值）”问题】

在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）： 方法：由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式（勾股定理）计算），只需另两边的和最小即可（做对称）。 四边形周长问题同理 4、【三角形面积的最大值问题】

“抛物线上是否存在一点，使之与一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）： 过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，设动1点坐标后，进一步可得到S动三角形（y上（动）-y下（动））（x右（定）-x左（定））2，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大 值。

5、【一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”】

由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与上面相同。 6、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差） 7、【“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题】 方法：两圆一线 8、【“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题】

x1x3x2x4y1y3y2y4

进一步有：

① 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

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② 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。 9、【 “抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：】（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉

先用动点坐标“设坐标”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。 10、【“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：】 先设该点，表示三角形的三边的平方，分三种情况，轮流当斜边，利用勾股定理解方程。

二、常用公式或结论。

（1）纵线段的长=纵标之差的绝对值=y大-y小=y上-y下 （2）点轴距离：

点P（x0 ，y0）到X轴的距离为y0，到Y轴的距离为xo。 （3）两点间的距离公式：

若A（x1,y1）,B(x2,y2)，则AB=(x1x2)(y1y2)（即用勾股定理）

（4）中点坐标公式：若A(x1,y1)，B（x2,y2），则线段AB的中点坐标为（x1x2,y1y2）

22（5）两直线平行的结论：

已知直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2;

① 若l1∥l2k1k2 ② 若k1k2,且b1b2l1∥l2 （6）两直线垂直的结论：

已知直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2;

① 若l1l2k1.k21; ②若k1.k21l1l2. （7）由特殊数据得到或猜想的结论：

① 已知点的坐标或线段的长度中若含有2、3等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。

② 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解

决。

③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的k的值，若k223，则直线与x轴的夹角为30°；若k1；则3直线与X轴的夹角为45°；若k3，则直线与x轴的夹角为60°。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。

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三 、中考二次函数压轴题分析

例1、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线yax10axc经过点C，顶点M在直线BC上。 （1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ACD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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例2、如图，已知抛物线y（1）求点A，B，C的坐标。 121xx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。 42（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积。 （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 - 4 -

例3、如图，已知抛物线yax2bxca0的对称轴为x1，且经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B。

（1）若直线ymxn经过B、C两点，求抛物线和直线BC的解析式。

（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标。 （3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。

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