解析几何考点和答题技巧归纳

解析几何考点和答题技巧归纳

一、解析几何的难点 从解题的两个基本环节看：

1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…

2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等

变量、函数/方程/不等式的思想

灵活性和技巧性分类讨论 综合应用其他的代数几何知不小的计算量



难点：上述两个环节中 



二、复习建议

分两个阶段，两个层次复习：

1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。

这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d和r的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。

② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a、b、c、p）的几何意义和计算 ③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数） ④ 弦长、弦中点问题的基本解法

⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验

…

2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力

① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想

② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式

③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性

● 具体说明

1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想

建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”： ① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？

② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？

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③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？

④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)

好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失

[注] 关于消元



常用的消元法： 



① 点在曲线上

代入消元

加减/乘除消元

韦达定理整体代入消掉交点坐标 换元,消元的能力非常重要 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……

2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式 （1）常见的翻译转化：

点的坐标满足曲线方程

点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程

x + x = …‚ xx = … 

y + y = …‚ yy = …

1

2

12

1

2

12

② 直线与二次曲线的交点

③ 两直线AB和CD垂直

ABCD0kABkCD1

④ 点A与B关于直线l对称 ⑤ 直线与曲线相切

中: AB的中点l  垂: AB⊥l

圆: d = r  一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且 = 0

⑥ 点(x0,y0)在曲线的一侧/内部/外部 ⑦

代入后 f(x0,y0) > 0或f(x0,y0) < 0

ABC为锐角 或 零角

→→ BA ∙ BC > 0

→→CA ∙ CB = 0

 222

|CA| + |CB| = |AB|

BAAC⑧ 以AB为直径的圆过点C

⑨ AD平分BAC ⑩ 等式恒成立

⊥x轴或y轴时:k = − kAD AD上点到AB、AC的距离相等

→→AD∥(AB + AC)→ 系数为零或对应项系数成比例 →AB∥BC→ k = k C满足直线AB的方程

ABBC----精品----

11 A、B、C共线 ○

……

[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：

① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元

如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；

② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x1 + x2, y1 + y2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证 > 0

（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）

如：

待定系数法

直译法定义法

相关点法参数法…



① 求曲线方程： 



难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。

等式型(函数型): 由几个变量的等式来求其中某个变量的范围

② 求范围/最值： 不等式型:均值. 注意等号成立的条件

几何意义:两点间线段最短‚垂线段最短‚切线相关 等

③ 定值/定点：

常见模式： 很多定值定点问题（也是定值问题――坐标是定值）就是求某个变量的值，通常由条件列出的独立方程个数少于变量的个数， 但由于其形式的特殊性，通过消元后恰好能求出某个（或几个）变量的值（而其他变量的值却仍无法确定）

如：

消去：t52352 523约去： t

10262 t = 3 t =

1 2x4  y03x0或 5 t4范围约束：x4y20 x4y210

 x = 4

λR恒成立

恒成立之系数为0：t45x23x 对

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102x24x1恒成立之系数成比例： t对

52x23m λR恒成立

x6 t2 25m2等等。

关于结论：关于定值定点，有很多总结好了的结论，重在这些结论推导的过程, 而不必刻意让学生去记忆这些结论。

3、一定量的训练，提高运算的准确性、速度，提高书写的规范性、严谨性 （1）示范和训练相结合, 舍得花时间！

不同的设元，消元方案，不同的转化、“翻译”方法，带来的计算量也可能大不一样，需要通过一定量的实践来提高敏感度， 提高灵活性，使自己能尽快地发现原有方案的不合适之处，并迅速调整，尝试。

书写的习惯影响计算的速度和准确性。可以考虑在开始时不过于要求速度。而专重视 “一次计算”的准确性（“落笔对”）。 逐渐养成 “一个字写完了再写下一个字”、 “减少跳步”、“折叠使用草稿纸”等好的习惯。

规范的表达源自老师的板书展示和对平时作业的严格要求，也是一种习惯。老师要舍得用课堂时间带着学生一步步计算，要舍得让学生在课堂上独立完整地计算整道题。

（2）常用的“小方法”

① 涉及直线、圆的问题充分利用平面几何知识 ② 点差法

③ 经过某处点的直线与二次曲线必定相交 ④ 直线方程的设法

⑤ 由对称性，形式上的一致性 “同理”可得 ⑥ 定值定点问题可由特殊值法先得到结论

⑦ 直线与二次曲线相交且已知一个交点时，利用韦达定理求另一个交点 ⑧ 三角形（或多边形）的面积用平/直的直线割补后再求

（3）常易忽略的细节

① 设直线时注意：直线与坐标轴垂直的情况单独考虑； ② 使用韦达定理之前，要确保

0 + 要讨论二次项系数是否为0；

不仅仅是在解析中的问题了…

③ 消元、换元时注意新旧变量的范围 ④ OAOB0

AOB为锐角或零角

AOB为钝角或零角

同样OAOB0

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