2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1. 集合𝐴={𝑥∈𝐍|log2𝑥≤1}，集合𝐵={𝑥∈𝐙|𝑥2≤5}，则𝐴∩𝐵=( ) A.⌀ B.{2} C.{1, 2} D.{0, 1, 2}
2. 已知角𝛼的终边过点𝑃(−8𝑚,−3)，且cos𝛼=−4
5，则𝑚的值是( ) A.1
2
B.−1
√32
C.2
D.−
√32
3. 函数𝑓(𝑥)=4−4𝑥−𝑒𝑥的零点所在的区间为( ) A.(−2,−1) B.(−1,0) C.(1,2) D.(0,1)
4. 已知𝐴𝐵→
=(2,3)，𝐴𝐶→
=(3,𝑡)，|𝐵𝐶→
|=1，则𝐴𝐵→
⋅𝐵𝐶→
=( ) A.2 B.3 C.−2 D.−3
5. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋
4)(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则该函数的图象关于( 对称. A.点(𝜋
4,0)
B.直线𝑥=𝜋
𝜋
𝜋
8
C.点(8
,0)
D.直线𝑥=4
6. 已知𝑎=log1
𝑒𝜋，𝑏=log𝑒𝜋，𝑐=log𝜋𝑒，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系是( ) A.𝑎<𝑏<𝑐 B.𝑐<𝑎<𝑏 C.𝑎<𝑐<𝑏 D.𝑏<𝑐<𝑎
−𝑥7. 设函数𝑓(𝑥)={2，𝑥<1，则满足𝑓(𝑥)=1
log4𝑥，𝑥>1，4的𝑥的值为( )
A.2和√2 B.2和−2
C.2
D.√2
8. 如图所示为函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象的一部分，则( )
试卷第1页，总10页
)
A.𝑦=2sin(2𝑥+) B.𝑦=2sin(2𝑥−) C.𝑦=2sin(2𝑥+) D.𝑦=2sin(2𝑥−)
3366
9. 已知𝑎=(,sin𝛼)，𝑏=(cos𝛼,)且𝑎//𝑏，则锐角𝛼的大小为( ) 23A.6
10. 已知函数𝑓(𝑥)是以周期为2的奇函数，当𝑥∈[0,1]时，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2，则𝑓(−2)=( ) A.
21
9𝜋
→
3
→
1
→
→
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
B.4
𝜋
C.3 𝜋
D.12
5𝜋
B.−
2
1
C. 4
1
D.− 4
1
11. 在△𝐴𝐵𝐶中，sin𝐴=A. 6516
513
，cos𝐵=，则cos𝐶的值是( )
5
3665
3665
3
B.− 65
16
C. D.−
12. 已知函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥+𝑎cos(2+𝑥)在区间(6,2)上是增函数，则实数𝑎的取值范围为( ) A.[−2,+∞) 二、填空题
与向量𝑎=(1,−3)反向的单位向量为________.
函数𝑦=log0.5(2𝑥+3)的定义域为________．（用区间表示）
试卷第2页，总10页
→
𝜋
𝜋𝜋
B.(−2,+∞) C.(−∞,−4) D.(−∞,−4]
已知𝑎=(2,3)，𝑏=(−1,1)，则𝑎在𝑏方向上的投影为________.
设函数𝑓(𝑥)=
三、解答题
已知𝛼为第三象限角，且 𝑓(𝛼)=(1)化简𝑓(𝛼)；
(2)若sin𝛼是5𝑥2−7𝑥−6=0的根，求𝑓(𝛼)的值．
已知奇函数𝑦=𝑓(𝑥) 在[0,+∞)上的图象如图所示，顶点坐标为(1,−1).
sin(
3𝜋𝜋
−𝛼)cos(−𝛼)tan(−𝛼+𝜋)22
𝜋𝜋sin(+𝛼)cos(+𝛼)
22→
→
→
→
(𝑥+1)2+sin𝑥
𝑥2+1
的最大值为𝑀，最小值为𝑚，则𝑀+𝑚=________.
.
(1)求𝑓(𝑥)在R上的解析式并画出𝑓(𝑥)的图象；
(2)由图象指出𝑓(𝑥)的单调区间（不需要证明）.
已知▱𝐴𝐵𝐶𝐷的三个顶点𝐴，𝐵，𝐶的坐标分别是𝐴(−2,1)，𝐵(−1,3)，𝐶(3,4). (1)求顶点𝐷的坐标；
(2)求向量𝐴𝐵和𝐴𝐷夹角的余弦值．
已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥的图象经过点(2,4)，其中𝑎>0且𝑎≠1. (1)求𝑎的值；
试卷第3页，总10页
1
→
→
(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑥，解关于𝑡的不等式𝑔(2𝑡−1)<𝑔(𝑡+1)．
若𝑎与𝑏的夹角等于3 ，|𝑎|=2，|𝑏|=3. (1)求𝑎⋅𝑏的值；
(2)求2𝑎−𝑏与𝑎+2𝑏的夹角的余弦值．
已知函数𝑓(𝑥)=2cos2𝜔𝑥−1+2√3cos𝜔𝑥sin𝜔𝑥(0<𝜔<1)，直线𝑥=是函数𝑓(𝑥)的
3𝜋
→
→
→
→
→
→
→
→
𝜋
→
→
4𝑎5
图象的一条对称轴．
(1)求函数 𝑓(𝑥) 的单调递增区间；
(2)已知函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象是由𝑦=𝑓(𝑥)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移3个单位长度得到的，若𝑔(2𝛼+3)=5，𝛼∈(0,2)，求sin𝛼的值．
2𝜋
𝜋
6
𝜋
试卷第4页，总10页
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】 C
【解析】
可解出集合𝐴，𝐵，然后进行交集的运算即可． 2. 【答案】 A
【解析】
利用任意角的三角函数得𝑟=√(−8𝑚)2+(−3)2=√64𝑚2+9， 所以cos𝛼=3.
【答案】 D
【解析】 此题暂无解析 4.
【答案】 A
【解析】 此题暂无解析 5.
【答案】 B
【解析】
利用正弦函数的周期公式可先求得𝜔，再利用正弦函数的性质得到答案． 6. 【答案】 C
【解析】
利用对数的运算性质𝑎=log𝑒=−log𝑒𝜋<−log𝑒𝑒=−1，
𝜋1
−8𝑚√64𝑚2+94
=−5，得解.
𝑏=log𝑒𝜋>log𝑒𝑒=1，0<𝑐=log𝜋𝑒 利用分段函数讨论，在利用指数与对数的运算可得解. 8. 【答案】 试卷第5页，总10页 C 【解析】 由图象确定𝐴,𝜔，再将(,2)代入𝑦=2sin(2𝑥+𝜑)解得𝜑=2𝑘𝜋+,𝑘∈𝑍，得解. 6 6 𝜋 𝜋 9. 【答案】 B 【解析】 利用向量共线得sin𝛼cos𝛼=2，再利用二倍角公式以及𝛼∈(0,2)，可得解. 10. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 11. 【答案】 B 【解析】 由cos𝐵的值及𝐵为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin𝐵的值，由sin𝐵大于sin𝐴，得到𝐴为锐角，由sin𝐴的值求出cos𝐴的值，将cos𝐶变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 12. 【答案】 D 【解析】 利用二倍角化简得到𝑓(𝑥)=−2(sin𝑥+4)+1−−2(𝑡+)+1− 4 𝑎2 𝑎28 𝑎2 𝑎28 1 𝜋 ,令𝑡=sin𝑥,则𝑓(𝑥)=𝑔(𝑡)= , 𝜋𝜋 1 根据𝑡=sin𝑥在区间(,)上是增函数可得𝑡∈(,1),即可得解实数𝑎的取值范围 622二、填空题 【答案】 √103√10,) 1010【解析】 (− 利用设𝑎=(1,−3)的反向单位向量为−【答案】 3 (−,+∞) 2【解析】 利用对数的真数大于0，可得解. 【答案】 → → 𝑎 |𝑎| →，可得解. 试卷第6页，总10页 √2 2【解析】 利用𝑎⋅𝑏=2×(−1)+3×1=1，|𝑏|=√2， 所以𝑎在𝑏方向上的投影为|𝑎|cos𝜃=【答案】 2 【解析】 此题暂无解析 三、解答题 【答案】 解：(1)𝑓(𝛼)= (−cos𝛼)sin𝛼(−tan𝛼) cos𝛼(−sin𝛼) → → → →→ → →→ 𝑎⋅𝑏|𝑏| →得解. =−tan𝛼． (2)因为5𝑥2−7𝑥−6=(5𝑥+3)(𝑥−2)=0， 所以sin𝛼=−或sin𝛼=2（舍）. 53 因为𝛼为第三象限角， 所以cos𝛼=−， 54 所以tan𝛼=4， 即𝑓(𝛼)=−tan𝛼=−4． 【解析】 此题暂无解析 【答案】 解：(1)设𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−1)2−1. ∵ 𝑓(0)=0， ∴ 𝑎=1， ∴ 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥，𝑥≥0. 当𝑥<0时，−𝑥>0， 则𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2−2(−𝑥)=𝑥2+2𝑥． 又𝑓(𝑥)是奇函数， ∴ 𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−𝑥2−2𝑥． 𝑥2−2𝑥，𝑥≥0，∴ 𝑓(𝑥)={ −𝑥2−2𝑥，𝑥<0.作出图象，如图所示． 3 3 试卷第7页，总10页 (2)由图知，函数𝑓(𝑥)的单调递增区间是(−∞,−1]，[1,+∞)， 单调递减区间是[−1,1]． 【解析】 此题暂无解析 【答案】 解：(1)设𝐷(𝑥,𝑦)， 由题可知𝐴𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐵=(1,2)， 所以(1,2)=(3−𝑥,4−𝑦)， 即𝑥=2，𝑦=2， 所以点𝐷的坐标为(2,2)． (2)由(1)可知𝐴𝐵=(1,2)，𝐴𝐷=(4,1)， 所以|𝐴𝐵|=√5，|𝐴𝐷|=√17． 设𝐴𝐵与𝐴𝐷的夹角为𝜃， 则cos𝜃= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷|𝐴𝐵||𝐴𝐷| →→→ → →→→ →→ →→ →→ = 4+2√5×√=176√85． 85 【解析】 此题暂无解析 【答案】 解：(1)∵ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥的图象经过点(2,4)， ∴ 𝑓(2)=𝑎2=，解得𝑎=． 4 2 1 1 1 (2)由(1)知，𝑎=， 2 1 ∴ 𝑔(𝑥)=𝑥5=𝑥5，且𝑔(𝑥)为定义在R上的偶函数， 在(−∞, 0)上递减，在(0, +∞)上递增， ∴ 不等式𝑔(2𝑡−1)<𝑔(𝑡+1)等价为： 不等式𝑔(|2𝑡−1|)<𝑔(|𝑡+1|)， 即|2𝑡−1|<|𝑡+1|， 平方得3𝑡2−6𝑡<0， 解得0<𝑡<2． 即不等式的解集为(0, 2)． 试卷第8页，总10页 4𝑎2 【解析】 （1）根据指数函数过点，代入即可求𝑎的值； （2）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可． 【答案】 解：(1)𝑎⋅𝑏=|𝑎||𝑏|cos3=2×3×2=3． (2)由(1)得，𝑎⋅𝑏=3， 则(2𝑎−𝑏)⋅(𝑎+2𝑏) =2|𝑎|+3𝑎⋅𝑏−2|𝑏|2 =8+9−18=−1， → |2𝑎−𝑏|=√(2𝑎−𝑏) → → →2 →2 → → → → → → → → → →→ →→ 𝜋 1 →→ =√4|𝑎|2−4𝑎⋅𝑏+|𝑏|2 →→ =√16−12+9=√13， → |𝑎+2𝑏|=√(𝑎+2𝑏) → → →2 →→ =√|𝑎|2+4𝑎⋅𝑏+4|𝑏|2 →→ =√4+12+36=2√13. 设2𝑎−𝑏和𝑎+2𝑏的夹角为𝜃， 则cos𝜃== −1√13×2√(2𝑎−𝑏)⋅(𝑎+2𝑏)|2𝑎−𝑏||𝑎+2𝑏| 1 →→→→→→ → → → → → → =−26． 13【解析】 此题暂无解析 【答案】 解：(1)∵ 函数𝑓(𝑥)=2cos2𝜔𝑥−1+2√3cos𝜔𝑥sin𝜔𝑥(0<𝜔<1)， ∴ 𝑓(𝑥)=cos(2𝜔𝑥)+√3sin(2𝜔𝑥) =2sin(2𝜔𝑥+6)(0<𝜔<1)． ∵ 直线𝑥=3是函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴， ∴ 2𝜔⋅3+6=𝑘𝜋+2，𝑘∈Z， ∵ (0<𝜔<1)， ∴ 𝜔=2． ∴ 𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+6)， 试卷第9页，总10页 𝜋 1𝜋 𝜋 𝜋 𝜋𝜋 令−+2𝑘𝜋≤𝑥+≤+2𝑘𝜋，𝑘∈Z， 2 6 2 𝜋 𝜋 𝜋 解得：− 2𝜋3 +2𝑘𝜋≤𝑥≤3+2𝑘𝜋，𝑘∈Z， 2𝜋3 𝜋 ∴ 函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为：[−(2)由(1)知，𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+6)， 可得𝑔(𝑥)=2sin[2(𝑥+ 𝜋 61 2𝜋 𝜋 +2𝑘𝜋,+2𝑘𝜋]，𝑘∈Z. 3 𝜋 )+6]=2cos2𝑥． 3 𝜋 𝜋1 由𝑔(2𝛼+3)=5，𝛼∈(0,2)， 可得2cos[2(2𝛼+3)]=5， 故cos(𝛼+)=． 6 5 𝜋 3 1 𝜋 6 ∴ sin(𝛼+6)=√1−cos2(𝛼+6)=5. ∴ sin𝛼=sin[(𝛼+6)−6] 𝜋𝜋𝜋𝜋 =sin(𝛼+)cos−cos(𝛼+)sin 6666== 4√331×−× 52524√3−3． 10 𝜋 𝜋 𝜋𝜋4 【解析】 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数𝑓(𝑥)的解析式为2sin(2𝜔𝑥+)，根据直线𝑥= 6 𝜋 𝜋 是𝑓(𝑥)图象的一条对称轴，故2sin(2𝜔⋅3+6)=2，故有2𝜔⋅3+6=𝑘𝜋+2，𝑘∈𝑧，3 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 再由0<𝜔<1，求出𝜔 的值． 试卷第10页，总10页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容