一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置将符合要求的选项前面的字母代号涂黑.本大题共15小题，每题3分，计45分） 1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A．6
B．3
C．2
D．11
2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
3．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=40°，∠DAE=55°，则∠ACB的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
5．若一个正多边形的一个内角是150°，则它的边数是（ ） A．6
B．10 C．12 D．13
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
7．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
1
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
8．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，DE⊥AB于E，则BD=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
10．如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑．若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是（ ）
A．（一，2） B．（二，4） C．（三，2） D．（四，4）
11．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=10cm，AB=8cm，则△ABD的周长为（ ）
A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm
12．如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ） A．﹣1 B．1
C．﹣5 D．5
13．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
2
14．下列计算正确的是（ ）
A．a+a=a B．a•a=a C．（a）=a D．（2a）=2a
15．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等边三角形．其中，一定正确的有（ ）
2
3
5
2
3
6
3
2
6
2
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、解答题（本大题共9小题，计75分） 16．计算：x•x5+（x2）3﹣（﹣2x3）2．
17．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
18．如图，△ABC中，∠A=80°，BE，CF交于点O，∠ACF=15°，∠ABE=35°． 求∠BOC的度数．
19．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，给出结论，不写作法） （2）若在（1）中有BD=AD，请你求出∠A的度数．
3
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； （2）将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出这条直线．
21．如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）如果AB=8，AC=6，求AE的长．
22．如图①，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点M，N分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．设点M的运动时间为t （s）．
（1）在图①中，画出点M、N并连接MN，当t= 时，△BMN是直角三角形； （2）如图②，连接AN、CM，相交于点P，当t= 时，△ABN≌△CBM；
（3）图②中，点M，N在运动的过程中，∠CPN的度数会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
4
23．在△ABC中，AB=AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE． （1）如图①，若∠BAC=60°，则按边分类：△CEF是 三角形； （2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．
24．如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和y轴上一动点A（0，a），其中a＞0，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a=2时，则C点的坐标为（ ， ）；
（2）动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）当a=2时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
5
6
2016-2017学年湖北省宜昌二十二中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置将符合要求的选项前面的字母代号涂黑.本大题共15小题，每题3分，计45分） 1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A．6
B．3
C．2
D．11
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10， 所以符合条件的整数为6， 故选A．
2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．拉闸门 D．木门上钉一根木条 【考点】三角形的稳定性．
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性， 故选：C．
3．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【考点】三角形内角和定理．
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，
7
再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A=∠B=∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°， ∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形． 故选B．
4．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=40°，∠DAE=55°，则∠ACB的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° 【考点】三角形的外角性质．
D．110°
【分析】根据角平分线的定义求出∠CAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线， ∴∠CAE=2∠DAE=2×55°=110°，
由三角形的外角性质得，∠ACB=∠CAE﹣∠B=110°﹣40°=70°． 故选A．
5．若一个正多边形的一个内角是150°，则它的边数是（ ） A．6
B．10 C．12 D．13
【考点】多边形内角与外角．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，
8
360°÷30°=12．
则这个正多边形是正十二边形． 故选C．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D．
7．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
9
故选A．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，DE⊥AB于E，则BD=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．
【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE=2cm， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=4cm， 故选：D．
9．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：A．
10．如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑．若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是（ ）
10
A．（一，2） B．（二，4） C．（三，2） D．（四，4） 【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念、结合图形解答即可． 【解答】解：如图，把（二，4）位置的S正方形涂黑， 则整个图案构成一个以直线AB为轴的轴对称图形， 故选：B．
11．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=10cm，AB=8cm，则△ABD的周长为（
A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=18cm， 故选：D．
12．如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
）11
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算a+b的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a=﹣2，b=3． ∴a+b=1，故选B．
13．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC． 有两种情况： ①顶角∠A=50°； ②当底角是50°时， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=50°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°， ∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°． 故选：C．
14．下列计算正确的是（ ）
12
A．a+a=a B．a•a=a C．（a）=a D．（2a）=2a 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念与运算法则进行求解即可． 【解答】解：A、a2+a3≠a5，本选项错误； B、a2•a3=a5≠a6，本选项错误； C、（a）=a，本选项正确； D、（2a）=4a≠2a，本选项错误． 故选C．
15．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等边三角形．其中，一定正确的有（ ）
2
2
2
3
2
6
23523632622
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，得出∠BMC=∠ANC即可；
③由全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得出∠APM=60°；④错误； ⑤由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形． 【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠ACE=60°， ∴∠ACD=∠BCE=120°，
13
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE；①正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， 在△ACN和△BCM中，，
∴△ACN≌△BCM（ASA）， ∴∠BMC=∠ANC，②正确； ∵∠CAD=∠CBE，∠AMO=∠BMC，
由三角形内角和定理得：∠APM=∠ACB=60°，③正确； ∴∠APB=120°， ⑤∵△ACN≌△BCM， ∴CN=CM 而∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形；⑤正确； ∵∠APB=∠ACB=60°， ∴A、B、C、P四点共圆， ∴∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠CPD=120°﹣60°=60°，
∴CP平分∠MPN，没有条件得出CP平分∠MCN，④错误； 正确的有4个， 故选：C．
二、解答题（本大题共9小题，计75分） 16．计算：x•x5+（x2）3﹣（﹣2x3）2．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：x•x5+（x2）3﹣（﹣2x3）2
14
=x+x﹣4x =﹣2x．
17．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
6
666
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC=EF，即CE=BF． 【解答】证明：∵AB⊥CD，DE⊥CF， ∴∠ABC=∠DEF=90°． 在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． ∴BC=EF． ∴BC﹣BE=EF﹣BE． 即：CE=BF．
18．如图，△ABC中，∠A=80°，BE，CF交于点O，∠ACF=15°，∠ABE=35°． 求∠BOC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠AFC和∠AEB，根据四边形的内角和等于360°计算即可．
15
【解答】解：∵∠AFC=180°﹣∠A﹣∠ACF=85°， ∠AEB=180°﹣∠A﹣∠ABE=65°，
∴∠BOC=∠EOF=360°﹣∠A﹣∠AFC﹣∠AEB=130°．
19．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，给出结论，不写作法） （2）若在（1）中有BD=AD，请你求出∠A的度数．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质． 【分析】（1）用尺规作出∠ABC的角平分线BD即可．
（2）设∠A=x，则∠ABC=∠C=2x，根据三角形内角和定理，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）△ABC的角平分线BD如图所示，
图中线段BD即为所求．
（2）设∠A=x， ∵BD=AD， ∴∠DBA=∠A=x， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x，
16
∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴5x=180°， ∴x=36°， ∴∠A=36°．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； （2）将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出这条直线．
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可； （2）作出平移后的△A2B2C2即可；
（3）根据△A1B1C1和△A2B2C2的位置关系可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可知，△A1B1C1和△A2B2C2，关于直线 x=3对称．
17
21．如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）如果AB=8，AC=6，求AE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）因为G为BC的中点，且DG⊥BC，则DG是线段BC的垂直平分线，考虑连接DB、DC，利用线段的垂直平分线的性质，又因为DE⊥AB，DF⊥AC，可通过DE=DF说明AD是∠BAC的平分线；
（2）先通过△AED与△ADF的全等关系，说明AE与AF的关系，利用线段的和差关系，通过线段的加减求出AE的长． 【解答】解：（1）连接BD、DC ∵DG⊥BC，G为BC的中点， ∴BD=CD， ∵DG⊥BC，DE⊥AB ∴∠BED=∠CFD，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，
∴△DBE≌△DFC ∴DE=DF，
18
∴∠BAD=∠FAD
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD ∴△AED≌△ADF， ∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AC=AF﹣CF， ∴AB+AC=AE+AF， ∵AB=8，AC=6， ∴8+6=2AE， ∴AE=7．
22．如图①，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点M，N分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．设点M的运动时间为t （s）．
（1）在图①中，画出点M、N并连接MN，当t= 2或4 时，△BMN是直角三角形； （2）如图②，连接AN、CM，相交于点P，当t= 3 时，△ABN≌△CBM；
（3）图②中，点M，N在运动的过程中，∠CPN的度数会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）分两种情况：①如图1，当∠BNM=90°时，∠BMN=30°，则BM=2BN，②如图2，当∠BMN=90°时，∠BNM=30°，BN=2BM，分别列式可求得t的值；
19
（2）如图3，当BM=BN时，△ABN≌△CBM，则AM=BM，所以t=6﹣t，解出即可； （3）如图4，∠CPN的度数不会发生变化，都等于60°，证明△CAM≌△ABN，再利用外角定理可以得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AM=BN=t，则BM=6﹣t 当△BMN是直角三角形时，有两种情况： ①如图1，当∠BNM=90°时， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，
∴∠BMN=90°﹣60°=30°， ∴BM=2BN， ∴6﹣t=2t， t=2；
②如图2，当∠BMN=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BNM=30°， ∴BN=2BM， ∴t=2（6﹣t）， t=4，
综上所述，当t=2或4时，△BMN是直角三角形； 故答案为：2或4；
（2）如图3，∵AB=BC，∠B=∠B， ∴当BM=BN时，△ABN≌△CBM， ∵AM=BN， ∴AM=BM， ∴t=6﹣t， t=3，
∴当t=3时，△ABN≌△CBM， 故答案为：3；
（3）点M，N在运动的过程中，∠CPN的度数不会发生变化，都等于60°，理由是：如图4，
20
在△CAM和△ABN中， ∵
，
∴△CAM≌△ABN（SAS）， ∴∠ACM=∠BAN，
∵∠BAN+∠CAN=∠CAB=60°， ∴∠ACM+∠CAN=60°， ∵∠CPN=∠ACM+∠CAN， ∴∠CPN=60°．
21
23．在△ABC中，AB=AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE． （1）如图①，若∠BAC=60°，则按边分类：△CEF是 等边 三角形； （2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．
【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
【分析】（1）根据题意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；
（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形． 【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB， ∴△DAB≌△EAC， ∴∠ECA=∠B=60°， ∵EF∥BC，
22
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF， ∴△EFC为等边三角形， 故答案为：等边；
（2）①△CEF为等腰三角形，
证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB， ∴△EAC≌△DAB， ∴∠ECA=∠B， ∴∠ACE=∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠EFC=∠ACB， ∴∠EFC=∠ACE， ∴CE=FE，
∴△EFC为等腰三角形；
②如图③，△EFC为等腰三角形．
当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE． 证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB， ∴△EAC≌△DAB， ∴∠ECA=∠DBA， ∴∠ECF=∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠AFE=∠ACB， 又∵∠ABC=∠ACB， ∴∠AFE=∠ECF， ∴EC=EF，
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∴△EFC为等腰三角形．
24．如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和y轴上一动点A（0，a），其中a＞0，以A点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a=2时，则C点的坐标为（ ﹣2 ， 3 ）；
（2）动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）当a=2时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）先过点C作CE⊥y轴于E，证△AEC≌△BOA，推出CE=OA=2，AE=BO=1，即可得出点C的坐标；
（2）先过点C作CE⊥y轴于E，证△AEC≌△BOA，推出CE=OA=a，AE=BO=1，可得OE=a=1，即可得出点C的坐标为（﹣a，a+1），据此可得c+d的值不变；
（3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案；
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA=∠AOB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BA，∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE， ∴∠ACE=∠BAO， 在△ACE和△BAO中，
，
∴△ACE≌△BAO（AAS）， ∵B（﹣1，0），A（0，2）， ∴BO=AE=1，AO=CE=2， ∴OE=1+2=3， ∴C（﹣2，3）， 故答案为：﹣2，3；
（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变． 过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA=∠AOB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BA，∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE， ∴∠ACE=∠BAO， 在△ACE和△BAO中，
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，
∴△ACE≌△BAO（AAS）， ∵B（﹣1，0），A（0，a）， ∴BO=AE=1，AO=CE=a， ∴OE=1+a， ∴C（﹣a，1+a），
又∵点C的坐标为（c，d）， ∴c+d=﹣a+1+a=1，即c+d的值不变；
（3）存在一点P，使△PAB与△ABC全等， 分为三种情况：
①如图，过P作PE⊥x轴于E，则∠PBA=∠AOB=∠PEB=90°， ∴∠EPB+∠PBE=90°，∠PBE+∠ABO=90°， ∴∠EPB=∠ABO， 在△PEB和△BOA中，
，
∴△PEB≌△BOA（AAS）， ∴PE=BO=1，EB=AO=2， ∴OE=2+1=3，
即P的坐标是（﹣3，1）；
②如图，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E，则∠CMB=∠PEB=90°，∵△CAB≌△PAB，
∴∠PBA=∠CBA=45°，BC=BP， ∴∠CBP=90°，
∴∠MCB+∠CBM=90°，∠CBM+∠PBE=90°， ∴∠MCB=∠PBE， 在△CMB和△BEP中，
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，
∴△CMB≌△BEP（AAS）， ∴PE=BM，CM=BE，
∵C（﹣2，3），B（﹣1，0）， ∴PE=1，OE=BE﹣BO=3﹣1=2， 即P的坐标是（2，1）；
③如图，过P作PE⊥x轴于E，则∠BEP=∠BOA=90°， ∵△CAB≌△PBA，
∴AB=BP，∠CAB=∠ABP=90°，
∴∠ABO+∠PBE=90°，∠PBE+∠BPE=90°， ∴∠ABO=∠BPE， 在△BOA和△PEB中，
，
∴△BOA≌△PEB（AAS）， ∴PE=BO=1，BE=OA=2， ∴OE=BE﹣BO=2﹣1=1， 即P的坐标是（1，﹣1），
综合上述，符合条件的P的坐标是（﹣3，1）或（2，1）或（1，﹣
1）．27
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