牛顿—莱布尼茨公式条件的研究

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第３期　２００７年　玉林师范学院学报（自然科学）　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．３　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＹＵＬＩＮ　ＴＥＡＣＨＥＲＳ　ＣＯＬＬＥＧＥ　（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　牛顿一莱布尼茨公式条件的研究　口龚国勇　（玉林师范学院数学与计算机科学系副教授，广西玉林５３７０００）　【摘要】对牛顿一莱布尼茨公式的条件进行研究，并且给出相关例子．　【关键词】减弱；条件；定理；例子　【中图分类号】Ｏ１７【文献标识码】Ａ【文章编号】１００４—４６７１（２００７）０３—０００３—０４　口　顿一莱布尼茨公式不仅为定积分计算提　积分与不定积分联系了起来．　定理２若函数，在【ａ，ｂ】上连续，函数Ｆ在【ａ，ｂ】　），Ｘ∈（ａ，ｂ），则ｆ　在【日，　上可积，且　ｔ　ｂ　供了一个有效的方法，而且在理论上把定　上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且Ｆ　）　文【１】中的牛顿一莱布尼茨公式的条件较强，本　文试图减弱其某些条件，对牛顿一莱布尼茨公式进　行研究，并给出相关例子．　，ｘ　ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（日）．　证明：对于　，ｂｌ＿Ｌ的任一分割Ｔ＝｛日＝　，Ｘ　…．，　ｘ。　＝　），由定理的条件知，Ｆ（　）在每一个小区间【Ｘｉ－Ｉ，ｘＪ　别存在　∈（Ｘｉ－Ｉ，Ｘ　ｉ＝１…２…．．，ｎ，使得　引理１若厂在【日，ｂ】上连续，则Ｆ（ｘ）＝ｆ　ｆ（ｔ）ｄｔ在　上连续，在（ｘ　Ｘ　）可导，根据拉格郎日中值定理，分　【日，　】上处处可导，且Ｆ　）　），Ｘ∈【日，ｂ】．　引理２若厂是【ａ，ｂ】上只有有限个间断点的有　界函数，则，在　ｂ】上可积．　引理的证明见文『１１　Ｆ（　）一Ｆ（日）＝∑【Ｆ（ｘ　）一Ｆ（ｘ卜　）】＝ＥＦ＇（ｒｂ）Ａｘ　ｆ＝ｌ　ｆ＝ｌ　＝定理１若函数ｆ在【ａ，ｂ】上连续，且存在原函数　Ｆ，即Ｆ　）　ｔ　ｂ　∑，　（　）△ｘ　．　＝ｌ　（２）　），Ｘ∈【ａ，ｂ】，则，在【日，　】上可积，且　（１）　因为，在【ａ，ｂ】上连续，从而一致连续，所以对　任意给定的８＞０，存在６＞０，当Ｘｔ，Ｘ”∈【ａ，ｂ】且Ｉ　Ｘ！－Ｘ”　ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（ａ）．　这称为牛顿一莱布尼茨公式．　此定理的证明见文…．　ｌ＜６时，有　Ｉ　ｘ’）　ｘ”）Ｉ＜寺．　于是，当△ｘ　≤ｌ　ｌ７’ｌｌ＜　时，任取　∈【Ｘｉ－Ｉ，ｘ　】，便　对定理１中函数Ｆ的要求减弱，可得　维普资讯 http://www.cqvip.com ＿－＿＿＝＝　２００７芷　玉林师范学院学报　黑　目焉嚣　第３期　有ｌ￣：ｉ－ｒ／ｆｌ＜　，从而有：　　Ｉ∑，”　（参）△ｘ　一【Ｆ（６）一Ｆ（以）】Ｉ　ｌ　Ｉｉ　１　Ｉ　１　ｎ　　１ｌ１　＝ｊ∑以￡）　叼　△　ｊ≤∑Ｉ　矗）　叼　△ｘｊ　＜　ｂ　－ａ　・∑△　占ｆ　…‘　所以ｆ在【以，易】上可积，且有公式（１）成立．　例１设　ｌ０，　ｘ　０，　ｎ　一　ｃｏｓ　１Ｉ　、／ｘ　‘　Ｖｘ　，　求Ｊ　．ｆ（ｘ）ｄｘ．　解：　ｘ）在【０，１】上连续，取　【０，　ｘ　０，　Ｆ（ｘ）　｛ｘ　ｉｎ　一．０　’　＜ｘ≤１．　则Ｆ（ｘ）在【０，１】上连续，且　Ｆ　（　）　厂（　），　∈（０，１）．　由定理２得，　Ｊ　ｆ（ｘ）ｄｘ　Ｆ（１）一Ｆ（０）　ｓｉｎ１．　对定理１中函数ｆ的条件减弱，可得　定理３若　在　剀上．－ｊ－￣，且存在原函数Ｆ，即　Ｆ　（　）　厂（　），ｘ∈【ａ，ｂ】，贝０有　Ｉ，（　）　＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（以）．　事实上，由５－Ｆ　（　）　），ｘ∈　，６】，所以（２）式成　立．又由于，在【ａ．ｂ】可积，所以令『　Ｉ７’『Ｉ一０，对（２）式　两边取极限，则有　（６）一Ｆ（　）＝ｌ　ｆ（ｘ）ｄｘ，即有　ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（ａ）．　综合定理２与定理３，可得下面的定理４．　定理４若￣ｇｇｃｆ在　，６】上．－ｊ－￣，函数Ｆ在【ａ，ｂ】　上连续，在（以，ｂ）内可导，且Ｆ　（ｘ）－－ｆ（ｘ），Ｘ∈（ａ．ｂ），则有　Ｉ　）　＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（以）．　例２设　ｌ　１，　ｘ　０，　｛』、２ｘｃ０ｓ　十／　　２　、／１　’＇　（）＜　．。　求Ｊ。ｆ（ｘ）ｄｘ．　解：ｍ）在【０，１】上只有一个间断点ｘ＝０，且有界，　故由引理２知，ｉｆｘ）在【以，６】上可积．取　ｆ　０，ｘ＝Ｏ，　Ｆ（ｘ）　１１Ｘ￣ＯＯＳ　——．Ｕ．０＜ｘ≤１＜Ｘ　１．　【　、／ｘ　则Ｆ（ｘ）在【０，１】上连续，且　Ｆ　（　）：　），　∈（０，１）．　由定理４得，　Ｊ　）　＝Ｆ（１）一Ｆ（０）－Ｃ。ｓ１．　对定理４中函数Ｆ的条件减弱，可得　定理５若函数ｆ在【ａ，ｂ】上可积，函数Ｆ在【以，ｂ】　上连续，且除有限个点外有Ｆ　（　）＿，（　），则有　，ｂ　ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（ａ）．　证明：不妨设Ｘｌｔ，Ｘ！’……，ｘｔ’是　】上使　（　）≠　）或Ｆ（ｘ）不存在的全部点．由定理的条件可知，对　于【ａ，ｂ】的任一分割Ｔ＝｛ａ＝ｘｏ，Ｘ　…．．，ｘ。，＝６｝：｛ｘｌ’，ｘ！’，　……＇ｘｋ’｝Ｃ　Ｔ，Ｆ　）在每一个小区间【Ｘｉ－Ｉ，Ｘ　】上连续，在　（Ｘｉ－ＨＸ　）内可导，且Ｆ　）　），ｉ＝１，２……ｎ．由拉格郎　日中值定理，有　Ｆ（６）一Ｆ（ａ）＝∑【Ｆ（ｘ　）一Ｆ（ｘＨ）】＝∑Ｆ　（　）△ｘ　＝∑　矗）Ａ　ｘｆ’喜∈Ｘｉ－Ｉ，Ｘｉ）（３）　由于，在【ａ．ｂ】上可积，所以对于上述的任一分　割Ｔ及取定的点集｛矗｝，都有　ｌｉｍ一？　△ｘ尸』　．于是，令ｌ　ｌ７’ｌｌ一０对（３）式两边取极限可得，　，ｂ　Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（以）．　锣Ｉ　３设　Ｉ　ｘ－１，　一１≤ｘ＜（）；　ｘ）：｛Ｐ　，　０≤ｘ＜１；　ＩＰ　，　１≤ｘ≤２．　ｒ　２　求ｊ一，ｆ（ｘ）ｄｘ、　解：，（　）在卜１，２】上有两个间断点　＝０与ｘ２＝１，　显然在卜１，２】上有界．按引理２，ｍ）在［－１，２】上可积，　取　维普资讯 http://www.cqvip.com 龚国勇　牛顿一莱布尼茨公式条件的研究　一　一，　１≤ｘ＜０：　Ｆ（Ｘ）＝　－ｅ　＋１，０≤ｘ＜１；　２Ｖ％－Ｐ　一２Ｐ　Ｒｅ－１＋１．１≤ｘ≤２　则Ｆ　）在【一１，２】上连续，且　２　一１．　一１＜ｘ＜０：　Ｆ　（Ｘ）＝　ｅ～，　０＜ｘ＜１：　ｖ　ｘ　Ｐ　．　１＜ｘ＜２．　即除在四个点一１，０，１，２外，Ｆ　（Ｘ）　）．　于是由定理６，得　ｒ　２　Ｊ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（２）一Ｆ（一１）　：２Ｘ／－２ＰＶ！一２ｅＶ：一Ｐ一’＋１一（一１）：一１　＝２ｅ　（、／　一１－ｅ－＇－１．　定理６若函数，在　易】上连续，则有　ｒ　ｂ　Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（口）　（４）　事实上，由引理１知，，在【ａ，ｂ】上存在原函数Ｆ，　且Ｆ　（Ｘ）　），　∈【口，易】，即满足定理１的所有条件，　所以公式（４）成立．　定理７若函数，在【ａ，ｂ】上可积，Ｆ在【ａ，ｂ】上只　有有限个有限跃度的间断点：ａ，ｃ　，ｃ！，…ｃ　易，且除开　这些点外，在【口，易】上其它点有Ｆ　（Ｘ）　），则　Ｊ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ一０）一Ｆ（口＋０）一∑【Ｆ（ｃ　＋０）　一Ｆ（ｃｉ－０）】．　（５）　证：记口　ｃｕ，易＝Ｃ　Ｉ．　不妨设Ｃｕ＜Ｃ１＜　，…，＜　＜ｃ　在相邻的点Ｃ　与　Ｃ　之间，对Ｆ作连续开拓，即定义　Ｆ（ｃ　＋０），Ｘ＝Ｃｉ；　Ｆ‘（Ｘ）＝　Ｆ（ｘ），Ｘ∈（Ｃｆ，Ｃｉ＋１），ｉ＝０，１，２，．．．，ｍ；　Ｆ（ｃｉ＋１－０），Ｘ　Ｃｉ”　则由定理５，有　ｘ　，　－Ｆ（ｃ￣＋０　，　于是，有　Ｊｆ　　ｄ　：　ｉ＝０　Ｊ　ｔ　＝∑【Ｆ（　，一０）一Ｆ（ｃ　＋０）】　ｉ＝０　＝Ｆ（ｂ一０）－Ｆ（ａ＋Ｏ）　一∑【Ｆ（ｃ　＋　＋０）一Ｆ（ｃ　—Ｏ）ｌ　注：若Ｆ在【ａ，ｂ】上连续，有Ｆ（ｂ一０）＝Ｆ（ｂ），Ｆ　（口＋０）＝Ｆ（口），∑【Ｆ（ｃ　＋０）一Ｆ（ｃ　一ｏ）１＝ｏ，则公式　＝０　（５）即为牛顿一莱布尼茨公式，可见定理７是定理　５的推广，定理５是定理７的特例．　例４设　，（　）　ｓｇｎ（ｓｉｎ　）与ｇ　）　１一【｝】，　求Ｊ　ｆ（ｘ）ｄｘ与Ｊ　ｇ（ｘ）ｄｘ．　解：　）与ｇ　）在【而１　，１】上的表达式分别为　＿１’寺＜ｘ＜　，ｋ：１　＿＇５　０（）；　）＝　ｘ　｝，　ｋ＝１＇２１…，１００１；　＜ｘ＜　，　ｋ＝１’２’…５０（）　与　１　。’’１００１’　ｇ　）＝　一　，１０００．　可见　（　）与ｇ　）在【而１　，１】上的间断点都为　１，｝，｝一．，　，且都有界．依引理２推知，　）　与ｇ　）都在【　，１】上可积．取　３　：Ｉ　～　Ｆ（ｘ）　ｘｓｇｎ（　）　【　，１】　＜　＜　１’２＇…５００；　０，　＝｝　１　．Ｉ１　０（）１；　，　＜　＜　，ｋ＝１＇２，…，５００．　与　Ｇ（ｘ）＝ｌ似叫　∈【　１　ＩＪＵ　１，１】　１ｎ　一１．　州÷÷，…，　：　ｌｎｘ—　，　＜　＜｝　１＇２＇’＿＿’１　０（】０　则Ｆ与Ｇ在【而１　，１】上只有有限个有限跃度　的间断点：１，　，｝…，，　，且除开这些点外，在　维普资讯 http://www.cqvip.com ．．　．一＝＝．＝＝．．　一＿　２００７正　【　，１］上其它点有Ｆ　（ｘ）　玉林师范学院学报　）与Ｇ　（ｘ）　ｇ（　），根　第３期　曩　璺—龃＿ｆ《！誓　据定ｔ７，有　【参考文献】　［１］华东示范大学数学系．数学分析［Ｍ］．高等教育出版社，　２００１．　』　）　：－１一　１　一（一　１一　１＋号＋号　一。［２］徐得治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲［Ｍ］．高等教　育出版社，２０００．　＋　＋　１１Ｌ９９９　９９９　１０００　一　１０００一　）　［３］吴良森，毛羽辉等．数学分析学习指导书［Ｍ］．高等教育出　版社．２００４．　＝一而１００２—１　２（１一号＋了２　３１一　４　１　　＋…一　＋—　—一）＋２　９９９　１０００　一　堕一２１ｎ２＋２．　１００１　而误差不超过２／１００１．　』　㈤ｄｘ：－ｌ－ｌｎ　＋　１　１　＋｝×２＋・ｎ｝一手一ｈ｝＋｝×３＋．一　而１一　而１＋而１×１０００）　＿＿１＋ｌｎ１００１＋　十　１＋１＿　＋１＿｛＋１４　…・一　１０００＋１）　＝一而１＋ｌｎ１００１＋（　１０００　’　２＋　３＋　４　＋…＋　一９９９）．　■　１０００　【收稿日期２００７—０３—１８】　【责任编辑　谢明俊】