第七章点的合成运动习题解答

习 题

7-1 如图7-26所示，光点M沿y轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，yAcos(t)，式中，A、、均为常数。如将点M投影到感光记录纸上，此纸以等速ve向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。

图7-26

xvet

yyAcos(t)Acos(x)

ve

7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M的运动方程为 xbsint，其中b、为常数，工件以等角速度逆时针方向转动，如图7-27所示。试求车刀在工件端面上切出的痕迹。

图7-27

xxcostysintbsint yxsintycost0 解得

bsintb xbsintcostsin(2t) costtantsint2byxtantbsin2t[cos(2t)1]

22bb

(x)2(y)224

7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。设各处河水流速均匀且不随时间改变。一船

由点A朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min到达对岸，这时船到达点B的下游120 m处的点C。为使船A能垂直到达对岸的点B，船应逆流并保持与直线AB成某一角度的方向航行。在此情况下，船经12.5 min到达对岸。试求河宽L、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v的大小。

图7-28

120L

0.2m/s vr600600船A能垂直到达对岸的点B

L v2v2v2 vara750L2L2()()0.22 60075010.2L200m vrm/s

31212()()600750 7-4 半径R = 60mm的半圆管BC绕定轴OO1按规律t(5t)转动，点在管内运动，相

v优质.参考.资料

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对于管子的运动方程为BM10πt2(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。若AB=CD = 40mm，求t = 2 s时，点M的绝对速度。

图7-29

t = 2 s时 BM40π BM2π 52t1rad/s vr20πt40π

R3π4030391.96 ve(4060sin)32vavevr291.962(40π)2155.7mm/s

7-5 矿砂从传送带A落到另一传送带B上，其绝对速度为v1= 4 m/s，方向与铅直线成30°角，如图7-30所示。设传送带B与水平面成15°角，其速度为v2= 2m/s。试求此时矿砂相对于传送带的相对速度，并问当传送带B的速度为多大时，矿砂的相对速度才能与它垂直？

图7-30

22vrveva2vevacos752242224cos753.9823m/s

矿砂的相对速度与传送带B的速度垂直 vevasin151.0353m/s

7-6 如图7-31所示，瓦特离心调速器以角速度绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度1向外张开。如10rad/s，11.2rad/s，球柄长l = 500 mm，悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为e = 50 mm，球柄与铅直轴所成的夹角30。试求此时重球的绝对速度。

图7-31

ve(50500sin30)300103000mm/s3m/s vr50015001.2600mm/s0.6m/s

2vavevr2320.623.0594m/s

7-7 已知三角块沿水平面向左运动，v1= 1 m/s，推动杆长l = 1 m的杆AB绕点A转动，如图7-32所示。试求当30时，杆AB的角速度，点B相对于斜面的速度。

图7-32

ve1m/s

vvave1m/s a1rad/s

lvr2vecos303m/s

7-8 曲杆OAB以角速度绕点O转动，通过滑块B推动杆BC运动，如图7-33所示，在图示瞬时AB = OA，试求点C的速度。

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图7-33

ve2l

vavecos45l

7-9 半径为R的大圆环，在自身平面中以等角速度绕轴A转动，并带动一小环M沿固定的直杆CB滑动。在图7-34所示瞬时，圆环的圆心O和点A在同一水平线上，试求此时小环M相对圆环和直杆的速度。

图7-34

ve2Rcos303R

vave3R

vr2vecos303R

7-10 曲柄O1A以匀角速度绕点O1转动，通过滑块A使扇形齿轮绕点O2转动，从而带动齿条DB往复运动，如图7-35所示。已知O1A=R，试求图示瞬时齿条上点C的速度。

图7-35

vaO1AR

vevasin30R 2ve 2R2R

vCRO2A2

7-11 如图7-36所示，两圆盘匀速转动的角速度分别为1 1 rad/s，2 2 rad/s，两

OA圆盘的半径均为R=50 mm，两盘转轴之间的距离L=250 mm。图示瞬时，两盘位于同一平面内。试求此时盘2上的点A相对于盘1的速度。

图7-36

vaR2502100 ve(LR)13001300

22vrveva300210023.162mm/s

7-12 绕轴O转动的圆盘以及直杆OA上均有一导槽，两导槽间有一活动的销子M，如图7-37所示。已知，b = 0.1 m，设在图示瞬时，圆盘及直杆的角速度分别为1 9 rad/s，

2 3 rad/s。求此瞬时销子M的速度。

图7-37

令OMR

ve1R19R ve2R23R

ve1vr1ve2vr2

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ve1ve243R

cos30(vv)cos60ve1cos60ve2cos60vr2cos30 vr2e1e223R

cos300.122vave(3R)2(23R)221R210.272vr2cos300.529m/s ve1vr1cos30ve2 vr1

7-13 如图7-38所示的机构，已知曲柄OA的角速度 10π rad/s，OA=150 mm，试求

45时，弯杆上点B的速度和套筒A相对于弯杆的速度、加速度。

图7-38

vaOA0.1510π1.5πm/s vevavr sin60sin75sin4531.5πvsin6024.225m/s veasin75sin7521.5πvsin4523.4497m/s vrasin75sin75

aaOA20.15100π215π2m/s2

araasin45sin10515π222108.38m/s2 sin75

7-14 图7-39所示的平底推杆凸轮机构，半径为R的偏心轮绕轴O转动，转动方程

3t5t2，偏心距OC = e，试求推杆上点A的速度、加速度。

图7-39

310t 10 vaee(310t)

vevacose(310t)cos τaae10e naae2e(310t)2

naaaaaear

aeaacosaansin10ecose(310t)2sin

7-15 如图7-40所示，在平行四连杆机构的连杆AB上有一半径R = 300mm的圆弧形导槽D，已知O1A=O2B= 400mm，曲柄O1 A 绕点O1 的转动方程为πt2/8，一动点M自点B由静止开始沿导槽运动，其运动规律为BM50πt2/4(弧长的单位为mm)。试求t = 2 s时，

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点M的速度和加速度。

图7-40

π4t = 2 s时

t π

vr25πt arτ25π 4ππ  π BM50π

224vr22500π225π2 π τn a25πv50πarrrR30036πveO1A400200π

2va 2vevr22vevrcos60(200π)2(50π)22(200π)(50π)1 232500π566.36mm/s

τaeO1A400π100π 4π2n2aeO1A400100π2

4nnaaaeaearar

125π23aaxaearsin30acos30100π25π

23225π2387.5π

62 203.66mm/s

nr325π21aayaarcos30asin30100π25π

232625225π3π

622 960.07mm/s

nenr2aa22aaxaay203.662(960.07)2981.43mm/s2

7-16 如图7-41所示，曲柄OA长0.4 m，以等角速度 0.5 rad/s绕轴O逆时针方向转动，推动BC沿铅直方向运动。试求曲柄和水平线间的夹角30时，BC的速度和加速度。

图7-41

vaOA0.40.50.2

vevacos300.13m/s

aaOA20.40.520.1 aeaasin300.05m/s2

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7-17 剪切金属板的“飞剪机”结构如图7-42所示，工作台AB的移动规律是

s0.2sin(πt/6)，滑块C带动上刀片E沿导柱运动以切断工件D，下刀片固定在工作台上。

设曲柄长OC = 0.6 m，t =1 s时，

= 60°。试求该瞬时刀片E相对于工作台运动的速

度和加速度，并求曲柄OC转动的角速度及角加速度。

图7-42

0.2π20.2πs0.2sin(πt/6) sssin(πt/6) cos(πt/6) 3660.1π20.2π30.1π3t =1 s时，= 60° s s62636

ve0.1π320.2πvam/s

sin60663va0.2π0.1745rad/s OC60.6πvrvacos600.05236m/s

36

aaOA20.40.520.1

0.1π2ae0.02742

36naaOC20.60.174520.01827

naaaaaear

aacos30aansin30ae

aaasin30aecos30na0.0182710.0274220.02111m/s2 3/2aa0.0352rad/s2

0.6

aacos60aansin60ar

3ar0.0211110.018270.005276m/s2

22

7-18 如图7-43所示，直角曲杆OAB绕点O转动，半径R402mm的圆环固定不动，小环M将杆与圆环相连。已知OA=R，当A与圆心重合时，设12 rad/s，12 rad/s2，试试求该瞬时小环M的绝对速度和绝对加速度。

图7-43

ve2R12400221600mm/s

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vavecos4580021131mm/s1.131m/s vrva8002mm/s

2va(8002)2a16002

R4002τae80011600 nanae800123200

aC21vr22800232002

nnaaaaaaeearaC

aaaecos45aencos45aC

1600cos453200cos4532002 8002

2aa(aa)(aan)2(8002)2(16002)28005

2530mm/s22.53m/s2

7-19 图7-44所示的平面机构中，杆AB以匀速u沿水平方向运动,并通过滑块B推动杆OC转动。试求60时，杆OC的角速度和角加速度。

图7-44

vau

3u3 ve3u 2vevacos30u2OBl/sin604luvrvasin30

2naaaeaearaC aa0

3uu3u2 aC21vr24l24l0aeaC

3u2 aeaC4l3u2ae33u24l OBl/sin608l2

7-20 如图7-45所示的机构，已知O1A = O2B =l，杆O1 A以匀角速度绕点O1 转动。

试求图示瞬时杆DE的角速度、角加速度。

图7-45

val vevacos303l l vrvasin3022优质.参考.资料

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DEve3 l2naaaaeearaC

aal2

aC2DEvr23l32

l222aasin30aeaC aeaCaasin303212312lll 222DE

ael312 27-21 如图7-46所示，圆盘绕AB轴转动，其角速度2t rad/s。点M沿圆盘直径离开中心O向外缘运动，其运动规律为OM40t2mm。半径OM与AB轴间成60°倾角。试求当t=1s时点M的绝对加速度的大小。

图7-46

2t 2 OM40t2 vr80t ar80

t = 1 s时

2 2 OM40 vr80 ar80

322803 23τaeOMsin60402403

2ar80

naeOMsin60240aC2vrsin60228031603 2aaxarcos6040

3803403 2aazaeaC40316032003 aayarsin60aen80222aaaa402(403)2(2003)2126400355.5mm/s2 xaayaaz

7-22 如图7-47所示，点M以不变的相对速度vr 沿圆锥体的母线向下运动。此圆锥体以角速度绕OA轴作匀速转动。如∠MOA=，当t =0时点在M0处，此时距离OM0 =b。试求在t秒时，点M的绝对加速度的大小。

图7-47

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ae(bvrt)sin2 ar0 aC2vrsin

22aaaeaC[(bvrt)sin2]2(2vrsin)2(bvrt)2442vr2sin

7-23 如图7-48所示的马耳他机构中，曲柄1绕点O以匀角速度12rad/s转动，固定在曲柄上的销A沿着半径为R的圆盘2的槽滑动，并使圆盘2绕点O1转动。设OA=R=200mm，

45，试求图示瞬时圆盘2的角速度、角加速度以及销A相对于圆盘的加速度。

图7-48

vaR12002 vevacos45200 vrve200

v2e1rad/s

R

n2aaR12400 aeR2200 aC22vr400

naaaeaearaC

aacos45aeaC aeaacos45aC4002400200(22) 2ae2223.414rad/s

Raacos45aenar

araenaacos452004002200(12)482.8mm/s2 2

7-24 在图7-49所示的凸轮机构中，凸轮半径为R，偏心距OC= e，其角速度为常量，顶杆AB与凸轮之间为光滑接触。试以两种动点和动系分别求顶杆的速度和加速度。

图7-49

OA2e Recot303e veOA2e vavetan3023ve43e vre 3cos303

43e)2v1633aeOA22e2 arne2 R93e2r(aC2vr24383ee2 33naaaeararaC

aacos30aecos30arnaC

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1632832eeaaC293aaae2e

cos303/21622e2e2e2

99nr

7-25 如图7-50所示，半圆板绕其铅垂的直径线AB作定轴转动，转动方程为4t0.2t2，点M由点O自静止开始沿圆周运动，运动规律为OM100πsin(πt/4)(弧长的单位为mm)，设半圆板的半径为R=30mm，试求t=2/3s时，点M的速度和加速度。

图7-50

4t0.2t2 40.4t 0.4

OM100πsin(πt/4) vr25π2cos(πt/4) arτ25πsin(πt/4)

43t = 2/3 s时

240.43.733 0.4

323OM50π vr25π3213.68 arτ25π96.89

28arnv253π152.2 R430033.733969.86 22r24

veRcos303002vavevr2993.125mm/s2

33.73323620.5 23τaeRcos30||3000.4103.92

21aC2vrsin3023.733213.68797.65

2naeRcos302300aaxaenarncos30arτcos603620.5152.2396.8913703.86

2231aayarτcos30arnsin3096.89152.2160.01

22aazaeaC103.92797.65901.57

222aaaa(3703.86)2(160.01)2(901.57)23815.4mm/s2 xaayaaz

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7-26 如图7-51所示，在偏心轮摇杆机构中，摇杆O1A借助于弹簧压在半径为R的偏心轮C上。偏心轮C绕轴O往复摆动，从而带动摇杆绕轴O1摆动。设OC⊥OO1时，轮C的角速度为，角加速度为零，60。试求此时摇杆O1A的角速度和角加速度。

图7-51

vevavrR

vR1e

O1CR/sin3022R2R2 n2ae12R()sin3022aaaeararaC

aaR2 aC21vr2RR2

aacos60aeτsin60aensin30aC

1R21RR2naacos60aesin30aCR23R2τ222ae

sin6063/2232aeτ321

2R12

7-27 摇杆滑道机构的曲柄OA长l，以角速度ωO绕轴O转动，如图7-52所示。已知在图示位置时OA⊥O1O，AB=2l，试求该瞬时杆BC的速度和加速度。

图7-52

va1l0

ve1va1sin3031vl0 O1Ae10 l0 vr1va1cos3022O1A4

ve24lO1Al0 va2ve22l01.1547l0

cos303vr2ve2tan303l0 3

2 aC12OAvr12aa1l0104332 l0l024naaae1ae1ar1aC1

aa1cos30ae1aC1

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ae1aa1cos30aC1ae3210 O1A8323232l0l0l0 244OA1

ae232l0 aC22OAvr2203l03l02 2436323232aa2cos30aealll0 2C2002633222aa2l0l0

3cos3031

7-28 牛头刨床机构如图7-53所示。已知O1A =200 mm，曲柄O1A以匀角速度12 rad/s绕轴O1转动。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。

图7-53

A处

va1O1A1400mm/s

200ve1va1sin30200mm/s OBve10.5rad/s 2O2A200/sin30vr1va1cos30aa13va12003mm/s 22O1A1800 aC12O2Bvr120.520032003

naaae1ae1ar1aC1

aa1cos30ae1aC1

ae1aa1cos30aC1800320032003 2OB2ae20033 1O2A200/sin302

B处

va2650325 ve2va2cos30325mm/s O2Bcos30cos30

aa2O2BO2B650365032522650 aan2O2BO0.5 2Bcos302cos303aaτ2cos30aan2cos60ae2

ae2650

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332517227532533656.7mm/s2 26326