牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较

牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较

学生姓名：XXX 指导教师:XX

摘要：微积分学是人类近代史上最杰出的科学成果之一,它是几千年来人类智慧的结晶,微积分的创立,不仅解决了当时的一些重要的科学问题,而且由此产生了诸如微积分方程、无穷级数等一些重要的数学分支。牛顿和莱布尼兹为微积分学的奠基人,他们的巨大贡献早已载入数学史册，本文将依次介绍了牛顿——莱布尼兹公式的历史，并从三个方面谈了著名的牛顿——莱布尼兹公式的作用；用四种方法证明了牛顿——莱布尼兹公式，并对这几种证明方法进行较全面地比较，从中可以知道它们之间的异同和各自特点,以便在教学中适当地选用,博采众长,以取得更好的效果。最后对其应用范围进行了推广，以便让人们更深刻地了解牛顿——莱布尼兹公式并能在教学、实践中熟练应用。 关键词:牛顿——莱布尼兹 作用 证明 比较 推广

1. 微积分的形成及作用

微积分的酝酿于17世纪上半叶到世纪末,18世纪微积分进一步发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。

微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,凝结了无数数学家的心血和劳动,是无数数学家艰苦奋斗的集体成果,熟悉微积分的历史发展,了解人类这一巨大财富的积累过程和数学家们所经历的艰苦漫长的道路及奋斗精神,对于提高一个人的数学素养,提高自身的数学意识和思维能力,适用于指导实际工作,都具有很重要的意义。 1.1微积分的早期萌芽

积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,这要追溯到遥远的古希腊时代，这一时代有许多代表人物。

（1）.欧多克索斯的穷竭法

欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径立方之比;圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的1等等。将穷竭法发展成为一

3[1]

种严格的证明方法,但他没有明确的极限思想。 （2）.阿基米德的平衡法

阿基米德的数学工作是创造与论证的结合,在《处理力学问题的方法》这篇著作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的方法,这种方法被称为“平衡法”,他的平衡法与现代积分的基本思想实质是相同的，阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形求面积、体积的问题,而平衡法本身是以极限为基础的,而当时不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,必定要用穷竭法加以证明。 （3）.刘徽的割圆术和体积理论

刘徽在积分学方面的贡献主要在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论

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建立在他的“出入相补”原理上,在球体积公式的推算中,刘徽首创了立体图形“牟合方盖”,但刘徽在求牟合方盖的体积时,遇到很大的困难终未能解决。 （4）.祖暅原理

刘徽绞尽脑汁没能解决的球体积推证问题,到了祖冲之时代终于由祖暅解决了，祖暅对球体积的推导继承了刘徽的路线,即从计算“牟合方盖”的体积为突破,祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这就是著名的“祖暅原理”。 （5）.卡瓦列里的不可分量原理

卡瓦列里是意大利的数学家,他1635年发表《用新方法促进的连续不可分量的几何学》。著作中他发展了系统的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:

卡瓦列里对积分学创立最重要的贡献还在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等价于积分a0nxdxan1n1的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法的过渡。

下面再来谈谈微分学的早期萌芽，与积分学两千多年的早期萌芽史相比,微分学的萌芽史就短得多了直到17世纪,受到求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题的刺激,微分学才出现了重大突破。主要表现在下面三个方面上: （1）.费马求极大值与极小值的方法

费马是法国数学家,费马求极大值与极小值的方法在1629年已经设计完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中发现。但费马的方法除了逻辑上的不完整外,还存在两个问题:一是费马的方法对极大值与极小值未加区别;再是费马不知道f(x)的导数为零只是极值的必要条件而非充分条件。 （2）.费马求切线的方法

费马在处理求曲线的切线和求极大值与极小值两大问题时,所采用的方法是一致的,用现代语言说,都是先取增量,而后让增量趋向于零,这正是微分学的实质所在。 (3).巴罗的微分三角形

巴罗是英国的数学家,巴罗也给出了求曲线切线的方法,与费马不同,巴罗使用的是几何学。巴罗几何法的关键概念后来变得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”。

巴罗求切线的方法非常接近微分学中所采用的方法,是费马方法的进一步发展。 1.2微积分的创立

数学家们在17世纪上半叶所做的一系列的工作为微积分的创立做了充分的准备,但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生,因为他们的方法只是针对具体问题,缺乏足够的一般性。作为微积分的主要特征的微分与积分的互逆关系,虽然有的学者在研究中已经触及到了,然而没有人能意识到这种联系的重要价值而深入研究。科学巨人牛顿和莱布尼兹的出现,完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。

牛顿对微积分问题的研究始于1664年,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月建立了“反流数术”(积分学)。1666年10月,牛顿将前两年研究成果整理成一篇论文《流数简论》,此论文是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文以速度形式引进了“流数”(即微商)概念。牛顿对于面积计算与求切线问题的互逆关系,明确地作为一般规律提出来,并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿正是运用了这种关系,将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系,进而将这两类运算进一步统一成整体。牛顿的工作将微积分的创立从量的积累完成了质的飞跃,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分。

- 2 -

[2]

牛顿的微积分理论主要体现在下述三部正式出版的论著里: (1)《运用无限多项方程的分析》(简称《分析学》,完成于1669年); (2)《流数法与无穷级数》(简称《流数法》,完成于1671年); (3)《曲线求积术》(简称《求积术》,完成于1691年)。

牛顿的上述三部论著反映了牛顿微积分学说的发展过程,是微积分发展史上的重要里程碑,也为近代数学甚至近代科学的产生发展开辟了新纪元。

与牛顿共享微积分创立这一荣誉的当属德国数学家莱布尼兹了,但是两人研究的出发点不同,牛顿始建微积分是以运动学为背景的,而莱布尼兹创立微积分的切入点是出于几何问题的思考,尤其是对特征三角形的研究。他逐步认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比;而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和。莱布尼兹还发现了这两个问题的互逆关系。他在自己对数的序列的研究中,找出了一种更一般的算法,将以往解决上述两类问题的各种结果和技巧统一起来。莱布尼兹总结出求切线不过是求差,求积不过是求和。到了1676年,他给出了幂函数的微分和积分公式,1677年在一篇手稿中,他陈述了他的微积分基本定理。

1684年,莱布尼兹发表了第一篇微积分论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》,这也是数学史上第一篇正式公开发表的微积分文献;1686年,莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》,在这篇文章中首次出现在印刷出版物上;1693年,莱布尼兹又在《教师学报》上发表了一篇论文,其中更清楚地阐述了微分与积分的关系;关于积分常数的论述发表于1694年。

就微积分创立而言,牛顿与莱布尼兹功绩相当,尽管两人各自采用了不同的方法,但他们都各自独立地发现了微积分基本定理,并建立了一套有效的微分与积分的算法。 1 .3牛顿与莱布尼兹公式的作用与意义

（1）、牛顿——莱布尼兹公式蕴含了极限的思想方法

极限的思想方法,是微积分学的基本方法。微积分学中的一些重要概念,连续、导数、定积分等均是用极限来直接定义的。牛顿——莱布尼兹公式作为微积分的重要公式,它集中体现了极限的思想方法。这个公式的证明方法常见的有两种：一种方法是莱布尼兹的方法,即先引入积分上限函数,然后证明出积分上限函数的导数为被积函数本身,再根据一个函数的任意两个原函数之差为某一常数这一性质推出牛顿——莱布尼兹公式；另一种方法是从定积分的定义出发,利用拉格朗日中值定理推得牛顿——莱布尼兹公式。

（2）牛顿——莱布尼兹公式较好地解决了定积分的计算

牛顿——莱布尼兹公式的产生,在当时使人们找到了解决曲线的长,曲线围成的面积和曲面围成的体积的一般方法,而后随着微积分学的不断发展、完善,以及他与其他学科之间日益密切的联系,这个公式的应用范围也在不断扩大,这个公式本身解决的定积分的计算内容也逐渐增多。从牛顿——莱布尼兹公式可以看出,只要能求出被积函数的原函数,不管原函数是初等函数还是用级数的形式给出,总可以求出这个积分的值或者满足一定精确度的近似值。当原函数是由级数的形式给出时,可用逐项积分的方法求得原函数,再利用牛顿——莱布尼兹公式求得积分的近似值。 （3）牛顿——莱布尼兹公式是联系微分学和积分学的桥梁

牛顿——莱布尼兹公式之所以重要的又一原因是它将微分学和积分学有机地联系在一起。公式中的被积函数是等式右端的导函数,求积分的问题则转化成求被积函数的原函数在积分区间上的增量问题

[6]

[5]

[4]

[3]

。

综上所述,牛顿——莱布尼兹公式不但从一个方面揭示了微积分的本质,而且具有很大的实用价值,

从公式本身的结构、形式上看也是非常优美的,这些也正是任何一个重要的数学公式所必备的。

2、牛顿——莱布尼兹公式的定义、四种证明方法及比较

- 3 -

2.1、牛顿——莱布尼兹公式的定义

若f(x)在闭区间a,b上连续,则

(1) f(x)在a,b上存在原函数,F(x) f(t)dt 就是f(x)的一个原函数; （axb）abx(2)对f(x)在a,b上的任意一个原函数F(x),都有f(x)dx=F(b)F(a) 。

a[7]

2.2、牛顿——莱布尼兹公式的四种证明方法及比较

（1）、证法一

定理1(微积分基本定理)若f(x)在a,b上连续,则由f(x)在a,bxb上的定积分所定义的函数

(x)xaf(t)dt，xa,b (2)

是f(x)在a,b上的原函数。积分(2)是上限xa,b的函数,通常称它为活动上限定积分。 根据定理1,f(t)dt是f(x)的一个原函数,由于一个函数的任意两个原函数只相差一个常数,所以

axF(x)xaf(t)dtC若在此式中令xa,则由于aaf(t)dt0得CF(a), 移项得

[8]

xaf(t)dtF(x)F(a)令 xb以及定积分的值与积分变量无关的关系,即得(2)。证毕。

牛顿—莱布尼兹公式是微积分学基本定理的一个重要应用,它使得计算定积分问题,从求和式的极限转化为求被积函数的原函数值差的问题。 （2）、证法二

F(x)在a,b上可导因此连续。设ax1x2…xnxn1b是区间a,b的任意一个分割,设

（xi)F(xi1)F(xi）xi=xi1xi,=maxxi,i为[xi,xi1]上任意两点F。由中值定理得存在

1in（xi)f(i)xi。因为f(x)在a,b 上连续,所以对0,存在0,使得当i[xi,xi1],使F时,有f(i)f(i)nba.

lim0i1f(i)xi[F(b)F(a)]

nn=lim0i1nf(i)xilim0i1nF(xi)

=lim0i1f(i)xilim0i1f(i)xi

- 4 -

n=lim0[f(i1ni)f(i)]xi

balim0i1xi



n即lim0i1f(i)xi=F(b)F(a)[10]

[9]

。

（3）、证法三

F(x)在a,b上可导,因此连续。设ax1x2…xixi1…xnxn1b是区间a,b的任意一个

分割,则

F(b)F(a)

n=lim0F(x)

ii1nlim0[dF(x)o(x)]

iii1nlim0i1ndF(xi)

=lim0i1nf(xi)xi

=lim0i1f(i)xi

=baf(x）dx

其中xixixi1(i1,2…，n),maxxi,(xi)是较xi高阶的无穷小量。

1in设(xi)=ixi(i是关于xi的无穷小)对0,存在0，使得当,有inni0iba,则

lim0(x)limi1i1xibanlim0F(x)ii1ban即lim0o(xi1i)0。

因为f(x)在[a,b]上连续,所以任给0,存在>0,使得存在<,对于任意i[xi,xi1],只要

<,就有f(i)f(xi)ba,故

- 5 -

n[f(xlim0i1ni)xif(i)xi]

=lim[f(x0i1i)f(i)]xi

banlim0xi1i

=（ba) ba=

n即F(b)F(a)lim（4）、证法四

0i1f(i)xibaf(x)dx.

因为F(x)在[a,b]上连续,又根据中值定理得

nF(b)F(a)lim0F(xi1i)

nlim0i1nf(i)xi (1)

lim0i1f(i)xi (2)

=baf(x）dx

[11]

(1)、(2)参见证法二。

2.3、 几种证明方法的比较

(1)证法1是高数教材中普遍采用的方法。这一证法须先证明定理l(即原函数的存在性定理),肯定了连续函数一定有原函数,并以变上限的定积分形式给出了f(x)的一个原函数。然后利用变上限的定积分来证明牛顿—莱布尼兹公式。这一证法在理论上是严谨,完整的,但内容繁琐,在课堂上讲这一证法增加额外负担,对掌握公式益处不大。

(2)证法2利用中值定理直接证明公式,较简洁。该证法出自北京大学沈燮昌所著《数学分析》(高等教育出版社, 1986)。

(3)证法3用微分直接证明公式,清晰地反映出微积分学中导数,微分,不定积分,定积分这几个重要的基本概念之间的关系,有利于学习时融会贯通。该证法系笔者独立完成。 (4)证法4是由证法2,3演化出来的一种更简便的方法,易于掌握

[12]

。

2.4牛顿——莱布尼兹公式在物理中的应用

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础，对于实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在较小时间、空间等范围内的相应局部问题，只要局部范围被分割到足够小，小到这些局部问题

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可近似处理为简单、基本、可研究的问题，把局部范围内的结果累积起来，就可以得到问题的结果。

牛顿一莱布尼兹公式可对应一个简单的物理模型—质点在直线上的变速运动.假设在时刻t,质点在直线上的位置为S(t),那么从时刻ta起到时刻tb止,质点实际上走了多远呢?显然就是

S(b)S(a).

另一方面,设质点在时刻t的速度为V(t),对于时间间隔[a,b]的任意一个划分了Ｔ:

at0t1t2…tn1tnb

质点在时间间隔[a,b]内所走的路程应为

nbaliml(T)0k1V(k)tkV(t)dt （＊）

其中tktktk1,k[tk1,tk],l(T)maxtk即应有

1knbaV(t)dtS(b)S(a)'

再注意到V(t)S(t)，便得知速度的求积是路程,路程的求导是速度,也即

S(t)=V(t)'

这就显示了积分与微分是两个互逆的运算,且这里导出的关系式(*)正是牛顿一莱布尼兹公 [13]

式。

3、牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广和举例

atV(x)dxS(t)S(a)在(1)式定理中,函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是牛顿-莱布尼兹公式成立的一个重要条件。然而,f(x)在闭区间[a,b]上连续只是定积分f(x)dx存在的充分而非必要条件。那么,当定积分

abbaf(x)dx存在而函数f(x)并不在闭区间[a,b] 上连续时,牛顿-莱布尼兹公式又是否成立呢?

事实上,有下面的结论。

定理1 函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,若存在函数F(x)满足条件 (1)F(x)在[a,b]上连续;

(2)F(x)在[a,b]内可导,且F(x)f(x), 则有f(x)dxF(b)F(a)

ab' - 7 -

证 在区间[a,b]中插入n1个x1,x2,„ ,xi1,xi,„,xn1,将区间[a,b]n等分。其中x0a，

x0b,xiabani (i1,2,…，n1),记xixixi1。

因F(x)在[a,b]上连续,故有

nniF(b)F(a)[F(xi1)F(xi1)]limn[F(x)F(xii1'i1)]

又因为F(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且F(x)f(x),于是F(x)在各个小区间 [xi1,xi]上满足拉格朗日微分中值定理条件。故有i(xi1,xi)(i1,2,…，n)使得

nF(xi)F(xi1)F(i)(xixi1)f(i)xi所以, F(b)F(a)lim'ni1f(i)xi

又因f(x)在闭区间[a,b] 上可积,所以无论对区间[a,b] 怎样划分,怎样在区间[xi1,xi]上取点

ni,limni1f(i)xi皆存在并等于同一个常数baf(x)dx.故按照将[a,b] 等分并取上述这些的方

i法(此时=bann0与n等价)即有F(b)F(a)limni1f(i)xi

下面举例说明这一定理的应用。

112xsincosxx例1 f(x)0[2,22x0或0xx2222,0， 在[2,2]上不连续。但由于f(x)在

]上有界且只有三个间断点x1,x20, x3222．所以f(x)在[2,2]上可积。考虑函

12xsin数F(x)x02x0或0xx02 在[,2]上连续, （2,2）内可导,且

F(x)f(x)。于是根据定理1应有'-2f(x)d(x)F(2)F(2)82事实上,还能进一步放宽公

式成立的条件。

定理2 函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,若存在函数F(x)满足条件 (1)F(x)在[a,b]上连续;

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(2) [a,b]内除有限个点外皆有F(x)f(x)恒成立,则有f(x)dx=F(b)F(a)

a'b（a,b） 内使证 假设点x1,x2,„ ,xm1(a,b),=(ax0x1x2…xm1xmb)是开区间

得F(x)f(x)不成立的全部点。这些点将整个闭区间[a,b] 分割成m个小闭区间:

[x0,x1],[x1,x2],„ , [xm1,xm]。f(x)和F(x)在这m个小区间上皆满足定理1条件。于是有

bmxixi1m'af(x)dx=i1f(x)d(x)[F(xi1i)F(xi1)]F(b)F(a)

下面举例说明这一定理的应用。

1例2 f(x)01x2120x11,x12212x0,显然在闭区间[-1,1] 上有界,且只有两个间断点x10,

1x0。所以f(x)在[-1,1] 上可积。虽然f(x)在[-1,1] 上不连续,但存在函数F(x)x在[-1,1]上

12连续,在(-1,1)内除了点x10, x2外皆有F(x)f(x)。故由定理2有

'1-1f(x)dx=F(1)F(-1)0

以上讨论牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广,当适当放宽条件时,牛顿-莱布尼兹公式仍成立。但是,计

[14]

算积分过程中若不注意该公式成立的条件而乱用也将会导致严重错误。

4、结论

“牛顿——莱布尼兹公式”,作为微积分基本公式,在于这个公式把计算一个函数的定积分问题归结为求该函数的原函数问题,把两个貌似不相关的问题,亦微分学的中心问题(切线问题)与积分学的中心问题(求积问题)沟通起来,表达了客观现实中微分学与积分学之间的内在联系。本文讨论了牛顿——莱布尼兹公式的历史与作用，主要讨论了牛顿——莱布尼兹公式的四种证明方法及其比较，及其在数学和物理上的应用，最后介绍了牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广,当适当放宽条件时,牛顿-莱布尼兹公式仍成立。但是,计算积分过程中若不注意该公式成立的条件而乱用也将会导致严重错误。牛顿-莱布尼兹

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公式的内涵丰富,值得挖掘和讨论的内容还很多。 参考文献

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The ComParison of the Proofs of Newton一Leibniz

Student: X XX Tutor: X XX

Abstract: Calculus is one of the most outstanding scientific achievements in human modern history,

it is the crystallization of human wisdom for thousands of years, the creation of calculus, not only solved some important scientific problems at that time, and the resulting equation such as calculus, infinite series and some other important branch of mathematics. Newton and leibniz for calculus, founder of the great contributions they have already load the mathematics history, this article will, in turn, introduces the history of Newton, leibniz formula, and from three aspects about the famous Newton, leibniz formula; With four methods of Newton, leibniz formula, and proof of this method is more comprehensive, we can know the similarities and differences between them and their respective characteristics, in order to choose in teaching appropriately, eclecticism, in order to obtain better results. Finally, its application scope has carried on the promotion, in order to make people more profound understanding of Newton, leibniz formula and can skilled application in the teaching and practice.

Keywords: Newton一Leibniz; history; function; proofs; comparison

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