第1章流体力学的基本概念

流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。

1.1 连续介质与流体物理量

1.1.1 连续介质

流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8厘米。因而，从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。

但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。

所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计

,.

平均特性，且具有确定性。

1.1.2 流体物理量

根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即

limM （1-1）

VV'V式中，M表示体积V中所含流体的质量。 按数学的定义，空间一点的流体密度为

'limV0M （1-2） V由于特征体积V很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何点）的流体密度，这样就应予式（1-2）定义的空间点的流体密度相一致。为把物理概念与数学概念统一起来，方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2）所表达的流体物理量定义。所谓某一瞬时空间任意一点的物理量，是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确定的值，它们是坐标点

(x,y,z) 和时间t 的函数。例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点(x,y,z) 和时间

t 的函数，即

(x,y,z,t) （1-3）

1.2 描述流体运动的两种方法

描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。

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1.2.1 拉格朗日法

拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨迹以及运动要素随时间变化的规律。各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。这种方法又称为质点系法。

在某直角坐标系0xyz中，将tt0时的某流体质点在空间的位置坐标(a,b,c)作为该质点的标记。在此后的瞬间t，该质点(a,b,c)运动到空间位置(x,y,z)。不同的质点在t0时，具有不同的位置坐标，如(a,b,c)、(a,b,c)……，这样就把不同的质点区别开来。同一质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间t也位于不同的空间位置。因而，任一瞬时t质点(a,b,c)的空间位置(x,y,z)可表为

xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t)

zz(a,b,c,t)(1-4a)

式中a,b,c称为拉格朗日变数。若给定式中的a,b,c值，可以得到某一特定质点的轨迹方程。将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。

将式（1-4a）对时间t取偏导数，可得该流体质点在任意瞬间的速度u在x,y,z轴向的分量

xux(a,b,c,t)tyuyuy(a,b,c,t) （1-5a）

tzuzuz(a,b,c,t)tux若坐标用xi表示，i1,2,3，即用x1,x2,x3代替x,y,z；用ui，即u1,u2,u3，代替

ux,uy,uz；用x0k，k1,2,3，即x01,x02,x03，代替a,b,c；则式（1-4a）~ (1-5a)可写

为

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xixi(x0k,t) （1-4b）

uixiui(x0k,t) （1-5b） t对于某一特定质点，给定a,b,c值，就可利用式（1-4）~ (1-5)确定不同时刻流质点的坐标和速度。

1.2.1 欧拉法

欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。这种方法又叫做流场法。

采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。在直角坐标系中，流速是随空间坐标(x,y,z)和时间t而变化的。因而，流体质点的流速在各坐标轴上的投影可表示为

uxux(x,y,z,t)uyuy(x,y,z,t) （1-6a）

uzuz(x,y,z,t)或

uiui(xk,t) （1-6b）

式中xk,k1,2,3，代表自变量x,y,z。若令上式中x,y,z为常数，t为变数，即可求得在某一空间点(x,y,z)上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。若令t为常数，

x,y,z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况（即流

速场，velocity field）。

流速v是一个矢量，所以流速场是一个矢量场。流速虽是流动的一个重要参数，但只有流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。一个标量，如流体的密度，温度T等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标量场。应力ij,.

是一个二阶张量，所以应力在空间和时间上的分布是一个张量场。表述流动的各种场的综合成为流场（flow field），如流速场v(x,y,z,t)，密度场(x,y,z,t)等。

1.3 质点的加速度公式和随体导数

1.3.1 质点加速度公式

质点加速度是质点速度向量随时间的变化率。在Lagrange法中是以单个流体质点作为研究对象，因此位移函数（1-4）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度a在各轴向的投影：

2xax2ax(a,b,c,t)t2yay2ay(a,b,c,t) （1-7a）

t2zaz2az(a,b,c,t)t或

2xiai2ai(x0k,t) （1-7b）

t欧拉法不追踪质点运动而着眼于流场，由速度场ui(xk,,t)计算(xk,t)处的质点加速度

ai时必须求出该质点在t时间内的速度增量，在求其极值，即

aiui(xkxk,tt)ui(xk,t) （1-8）

t0xi0tlim式中xk是质点在t时间内的位移。利用Taylor’s Series展开，则

ui(xkxk,tt)ui(xk,t)(xk略去高阶微小量，所以

uiu2)t(ti)xkO(t2,xk,txk) xktui(xkxk,tt)ui(xk,t)(xkuiuuu)t(ti)xkt(i)xkxk(i)t xkttxk,.

代入式(1-8)，得

ai注意到xi是质点位移，因而

uiuixk txktt0limxkuk t则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式

ai或写为

uiuuki （1-9a） txkai以矢量表示为

uiuuuu1iu2iu3i （1-9b） tx1x2x3va(v)v （1-9c）

t在直角坐标系下，加速度表述为

duxuxuuuuxxuyxuzxdttxyzduyuyuyuyuyayuxuyuz （1-9d）

dttxyzduuuuuayzzuxzuyzuzzdttxyzax以上三式中等号右边第一项

uxuyuz、、表示在每个固定点上流速对时间的变化

ttt率，称为时变加速度（当地加速度）。等号右边的第二项至第四项之和

uyuyuyuxuxuxuzuuuyuzuxuyuzuyzuzz是表、ux、uxxyzxyzxyz示流速随坐标的变化率，称为位变加速度（迁移加速度）。因此，一个流体质点在空间点上的全加速度应为上述两加速度之和。

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1.3.2 质点的随体导数

将推导加速度公式的方法推广到质点上任意物理量的增长率的计算，引出质点的随体导数的概念。质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用描述中的任意物理量Q的质点随体导数表述如下：

D表示。在欧拉法DtDQQQuk （1-10） Dttxk式中，QQ(xk,t)可以是标量、向量或张量。质点导数公式对任意物理量都成立，故将质点随体导数的运算符号表示如下：

Duk （1-11a） Dttxk或

Du1u2u3 （1-11b） Dttx1x2x3其中，

称为局部随体导数，uk称为对流随体导数，即在欧拉法描述得流动中，物理

xkt量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。

1.4 体积分的随体导数

上面讲了质点的随体导数，研究流体运动，还需要考虑由流体质点组成的物质线、物质面和物质体。因为在流体质点组成的线、面、体上，往往定义有某种物理量，如物质线上的速度环量，物质面上的涡通量，物质体上的质量、动量、动能等。在流动过程中，连续的物质线、面、体随时间而不断改变其位置和形状，且将继续维持其连续性。同时，定义在这些线（面、体）上的物理量也随时间而不断变化着。描述这种变化过程就是这些线积分、面积分、体积分的随体导数。其中，体积分的随体导数公式在建立流体力学基本方程时经常用到，推导如下。

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考虑一个由流体质点组成的以S为界的流动体积V（图1-1）。设(r,t)是V内定义的标量函数，体积V内的总量为

dV。在运动过程中，组成体积V的流体质点不断地改

V变它的位置，因此流体质点组成的体积V也不断地改变着它的大小和形状。此外，在体积V中取值的标量函数在运动过程中也改变着它的数值。由此可见，上述积分在不同的瞬间将有不同的数值。上述体积分的变化过程将由该积分的随体导数

图1-1 体积分的随体导数（图中的符号换为V）

ddV来描述。 Vdt设t时刻的体积为V，其表面积为S。过了t时段以后，即在tt时刻，表面上的流体质点由于存在着速度的法向分量，在法线方向移动了unt的距离。设tt时隔立体的表面积为S(tt)、体积为V(tt)。根据随体导数的定义，我们有

d1 dVlim(r,tt)dV(r,t)dVVt0tdtVV(tt)令V(tt)VV，于是，上式改写为

d1dVlimt0tdtV(r,tt)(r,t)dVVV(r,tt)dV （1-12）

上式表明，体积分的变化由两部分组成：右边第一项所代表的，即标量函数随时间t所引起的变化。这部分变化可由下式表示为

VdV （1-13） t第二部分的变化是由于流动，体积变化V所引起的。从图1-1可以看出，体积的变化

,.

可表示为

dVuntdS

其中dS为表面S中的微小面积，un是法线n方向的速度投影。于是，上式右边第二部分可写为

1(r,tt)dVlim(r,tt)undS(r,t)undS （1-14） Vst0tt0slim将式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得体积分的随体导数公式

ddVVtdVSundS (1-15a) dtV依同理可得矢量a的体积分的随体导数公式

daadVVtdVSunadS (1-16a) dtV从上式可得重要结论，体积分的随体导数由两项组成：第一项是函数（或a）对时间的偏导数沿体积V的积分，它是由标量场（或矢量场）的非恒定性所引起的；第二项是函数（或a）通过表面S的通量

udS（或uSnSnadS），它是由于体积V的改变引起的。

应用高斯公式（奥高定理）

VdivadVandS (1-17)

S式（1-15a）和（1-16a）也可写为

dDdVdVudSdiv(v)dVdivvdVVtSnVVDtdtVt(1-15b)

daaDaadVdVunadSdiv(av)dVadivv)dVVtSVVdtVtDt(1-16b)

式（1-15）和式（1-16）在流体力学应用很广，有时也称之为运输定理（transport theorem）。

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1.5 流体微团运动分析

1.5.1 亥姆霍兹速度分解定理

刚体运动的形式只有平移和转动，流体因为具有易流动性，极易变形，所以任一流体微团在运动过程中，不仅与刚体一样会发生平移和转动，而且还会发生变形运动。

定理：流场ui(xj,t)中微团上任意一点的运动可以分解为平动、旋转和变形三部分之和。

证明如下：任取一流体微团，其上的参考点xoj在时间t的速度uoiui(xoj,t)，同一时刻，在流体微团上距点xoj为xj任一质点xj，xjxojxj，的速度

uiui(xojxj,t)。

利用Taylor’s Series展开，则

ui(xojxj,t)ui(xoj,t)略去高阶微小量，则有

2uiuux1ix2ix3O(xj) x1x2x3ui(xj,t)uoiuixj （1-20） xj其中

ui是一个二阶张量，可以进一步分解一个对称张量和反对称张量之和，即 xjui1uiuj1uuj()(i) （1-21） xj2xjxi2xjxi上式右端第一项用Dij 表示，是对称张量，它有六个独立分量；第二项用Rij表示，是反对称张量，有三个独立分量。因为

1uuj1ujuiDij(i)()Dji

2xjxi2xixj,.

1uuj1ujuiRij(i)()Rji

2xjxi2xixj因此，亥姆霍兹速度分解定理（Helmholtz velocity decomposing theorem）的数学表达式为

ui(xj,t)uoi(Dij)xj(Rij)xj （1-22）

1.5.2 变形率张量

对于脚标i,j1,2,3或x,y,z，写出Dij的所有分量，则

ux1uxuy1uxuz()(x2yx2zxuy1uyuz1uyuxDij()(2xyy2zyuz1(uzux)1(uzuy)z2yzz2x令

)) xxxyxzyz或写为

uzyzuy1u1uyux(x),yx()2yx2xy uu1u1u(xz),zx(zx)2zx2xzuy1uyuz1u(),zy(z)2zy2yzux,xyyuy,zz1uiujij() （1-23）

2xjxi则

1112Dij212231321323 （1-24） 33,.

其中ii 表示所在方向的线性变形率，其余ij,ij，为角变形率。Dij称为变形率张量。

1.5.3 旋转角速度

同理，对于脚标i,j1,2,3或x,y,z，写出Rij的所有分量，则

1uxuy1uxuz0()(2yx2zx1uyuz1uyuxRij()0(2xy2zy1(uzux)1(uzuy)02xz2yz令

)) 1uyux)2xy1uxuzy() （1-25a）

2zxuy1ux(z)2yzz(或写为

k(则

1ujui) （1-25b）

2xixj0Rijzyz0yx （1-26）

0x其中，z,y,z为流体微团的旋转角速度，显然，Rij是一反对称张量。Rij亦可写为

Rijijkk （1-27）

由以上分析得知，在亥姆霍兹速度分解定理的数学表示式（1-22）中， uoi表示平动；

(Dij)xj表示变形，包括线变形和角变形，(Rij)xj表示旋转。

流体微团有无旋转对流动分析的影响很大，流体微团有无旋转成为流动分类的一个重要

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指标。流体微团没有旋转的流动，称为无旋流动(irrotational flow)，或称无涡流动，亦称有势流动(potential flow)。流体微团有旋转的流动，称为有旋流动(rotational flow)，亦称有涡流动。

下面举例说明微团旋转的概念。

例1-1 设有两块平板，一块固定不动，一块在保持平行条件下作直线等速运动。在两块平板之间装有粘性液体。这时的液体流动称为简单剪切流动，如图1-2所示。其流速分布为 uxcy，uy0，其中c0。试判别这个流动是势流还是有涡流？

解：z1uyux1()c0 2xy2故该流动为有涡流。尽管质点都作直线运动，流线也都是平行直线，在表观上看不出有旋转的迹象。

图1-2 简单剪切流动

例1-2 从水箱底部小孔排水时，在箱内形成圆周运动，其流线为同心圆，如图1-3所时，流速分布可表示为

uxcycx , u, c0 y2222xyxy试判断该流体运动是势流还是有涡流？

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1uyuxc(y2x2)(y2x2)解：z( )2222222xy2(xy)(xy)除原点(x0,y0)外z0，该流动为势流。尽管质点沿圆周运动，但微团并无绕其自身轴的转动。

图1-3 水箱底部小孔排水时同心圆流线

1.6 涡量与环量

1.6.1 涡量

流体运动可以分为有旋运动和无旋运动，当流体的旋转角速度不为0，即ω≠0时，流体的运动是有旋的；当ω=0时,流体的运动是无旋的。所以判断流体是无旋流动还是有旋流动,应根据流体微团本身是否旋转,而与微团运动的轨迹并无关系。

流体的旋转角速度可以用张量式表示如下

ujui1 k2xixj （1-28） 其中脚标k表示流体运动平面的法线方向。

流体力学中多采用涡量(vorticity)来描述流体微团的旋转。定义旋转角速度的两倍为涡

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量，即

k2k （1-29a）

涡量是一矢量，它与旋转的平面垂直，其方向的正负按右手法则确定，如图1-4所示。写成矢量形式

curlvvrotv （1-29b）

在流场中，涡量是位置和时间的函数，即

kk(x,y,z,t) （1-30）

如同流速场描述质点的运动情况，涡量场则表达流体微团的旋转情况。

用流线用来描述流场，同样，可用与流线类似的涡线来描述涡量场。在某一瞬间,在流场中绘制的处处与涡矢量相切的曲线称为涡线(vortex line)。涡线一般不与流线重合，但相交，如图1-5所示。涡线微分方程与流线微分方程类似,可表示为

dxdydz （1-31） xyz以涡线为侧壁的管段称为涡管(vortex tube)。涡管里面绕同一旋转轴旋转着的流体称为涡束或涡丝(vortex filament)。

图1-4 涡量矢量（图中改为） 图1-5 涡线（图中改为）

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1.6.2 速度环量

分析带旋转的流体运动常要用到速度环量的概念。速度沿封闭曲线的积分称为速度环量(circulation),通常用Γ表示

vdl （1-32）

L在直角坐标系下为

uxdxuydyuzdz （1-33）

L1.6.3 斯托克斯定理

环量与涡量之间由斯托克斯（Stokes）定理联系。斯托克斯定理表述为：沿包围单连通域的有限封闭周线的速度环量，等于穿过此连通域的涡量通量。数学表述如下

 ndsvdl （1-34）

SL式中，上式说明通过面的涡通量等于沿边界的速度环量。StokesS为表面积，L为周线长度。定理应用很广，它把一个面积分和一个线积分联系在一起。

在直角坐标系下，式（1-34）表述为

udxuLxydyuzdzuzuy（1-35） uyuxuxuZSyzcosn,xzxcosn,yxycosn,zds

图1-7 环量与涡量

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1.7 应力张量

实际流体具有粘滞性。由于粘滞性的存在，有相对运动的各层流体之间将产生切应力。因此，在运动的实际流体中，不但有压应力，而且还有切应力。如在运动流体中任一点A取垂直于z轴的平面（图1-8），则作用在该平面上A点的表面应力并非沿内法线方向，而是倾斜方向的。表面应力在x、y、z三个轴向都有分量：一个与z平面成法向的正应力pzz；两个与z平面成切向的切应力zx及zy。压应力和切应力的第一个下标表示作用面的法线方向，即表示应力作用面与那个轴垂直；第二个下标表示应力的作用方向，即表示应力作用方向与那个轴平行。同样在垂直于y轴平面上，作用的应力有pyy、yx、yz；在垂直于x轴的平面上，作用的应力有pxx、xy、xz。这样，任一点在三个互相垂直的作用面上的应力共有9个分量，其中三个压应力pxx、pyy、pzz和六个切应力xy、xz、yx、yz、zx、zy。

写成矩阵形式

p11Pp21p31p12p22p32p13pxxp23yxp33zxxypyyxzyz （1-36a）

pzzzy或压应力与切应力均用统一符号pij表示，表述如下

p11Ppijp21p31p12p22p32p13p23 （1-36b） p33yzzy，zxxz（证称为应力张量(stress tensor)，它是一个二阶张量，而且xyyx，

明见后）。因此，应力张量是一个对称张量。

,.

图1-8 垂直于z轴平面上A点的表面应力

下面讨论切应力和压应力的特性。 1. 切应力的特性

切应力互等定律，即作用在两互相垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。表述如下：

xyyx，yzzy，zxxz （1-37）

证明如下：在实际流体中取一微小六面体，边长dx、dy、dz，各表面的应力如图1-9所示。对通过六面体中心点S并平行于x轴的轴线取力矩，因质量力通过中心点S，则得

zydxdydz(zy12zyyz111dz)dxdydzyzdxdzdy(yzdy)dxdzdy0 z22y2忽略三阶以上的微量，则

zydxdydzyzdxdydz0

于是得

zyyz

同理，可以证明xyyx及zxxz。

,.

图1-9 实际流体微小六面体各表面的应力分量

2. 压应力的特性

压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即

pxxpyypzz。但从几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，

与那组垂直面的方位无关，即(pxxpyypzz)值总保持不变。在实际流体中，任何三个互相垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以p表示，则

1p(pxxpyypzz) （1-38）

3因此，实际流体的动水压强也只是位置坐标和时间的函数，即pp(x,y,z,t)。 一般规定，切应力的方向与坐标轴一致时为正；法向应力的方向与作用面的外法线一致时为正，与作用面的内法线一致时为负，即压应力为负。

1.8 牛顿流体的本构方程

把应力张量pij与变形速率张量ij联系起来的方程称为本构方程(constitutive

,.

equation)。

满足切应力与剪切变形线形关系的流体为牛顿流体。一般的牛顿流体有水，空气，油等。本节只讨论不可压缩牛顿流体中应力张量与变形速率张量的关系。

1. 切应力与流速变化的关系

因变形和速度变化有关，所以切应力与流速变化有关。由牛顿内摩擦定律可知，在二维平行直线流动中，切应力的大小表述为

yxduxd dydt即切应力与剪切变形速度（即角变形率）成比例。这个结论可以推广到三维情况。由流体微团运动分析知，xoy平面上的角度形率为

1uyuxxy()

2xy这是微团的角变形率，而实际上的直角变形率ddt应为上式的两倍。所以

yx(同理，对三个互相垂直的平面上均可得出

uyxux) yyxxy(zyyzxzzx)xuz()

yzuxuz()zxuxyuyuy （1-39a）

这就是粘性流体中切应力的普遍表达式，称为广义的牛顿内摩擦定律。以张量的形式表述为

pij2ij,2. 法向应力与线变形率的关系

(i,j1,2,3,ij) （1-39b）

各个方向的法向应力可以认为等于动水压强p加上一个附加应力，即

,.

pxxppxx,pyyppyy,pzzppzz

这些附加应力可以认为是由于粘滞性所引起的相应结果，因而和流体的变形有关。因为粘性的作用，流体微团除发生角变形外，同时也发生线变形，即在流体微团的法线方向上有相对

uxuyuz、、，使法向应力（压应力）的大小与理想流体相比有所改变，产的线变形率

xyz生附加压应力。在理论流体力学中可以证明，对于不可压缩均质流体，附加压应力与线变形率之间有类似于式（1-39）的关系，即

uy'ux'up2,pyy2,pzz2z

xyz'xx式中，负号是因为当ux为正值时，流体微团是伸长变形，周围流体对它作用的是拉力，pxxxu应为负值；反之，当ux为负值时，p'xx应为正值。因此，在xxxuyuz、、的前面须加负yz号，与流体微团的拉伸与压缩相适应。因此，法向应力与线变形率的关系为

uxxuypyyp2

yuzpzzp2zpxxp2 （1-40a）

上式右端第二项的加号考虑了附加压应力与作用面外法线方向相反。以张量得形式表述为

pijpij2ij,(i,j1,2,3,ij) （1-40b）

综合式（1-39b）与式（1-40b），得

pijpij2ij,或写为

(i,j1,2,3) （1-41a）

pijpij(uiuj),xjxi(i,j1,2,3) （1-41b）

这就是不可压缩牛顿流体的本构方程。写成分量形式

,.

pxypzxpyzpxxp2pyyp2uxxuyyupzzp2zzuyupyx(xyxuupxz(xzzxuyuzpzy(zy （1-41c）

))) 需要说明的是，上述得出的是不可压缩牛顿流体的本构方程。对于可压缩牛顿流体，其本构方程要复杂些，推导过程请参考有关著作，这里只给出其表达式

pijpij2ij2divv （1-42） 32例1-3 不可压缩牛顿流体的流速场，ux4xyz， uyz2, uz2yz，速度单位为

ms1，x，y，z的单位为m。流体的动力粘滞系数103Pas。求点（2,1,1）处的全

部应力分量，已知该处压强p10300Nm解：由式(1-41)得法向应力

2。

pxxp2(4yz)p8yz pyyp2(0)p

pzzp2(4yz)p8yz

在已给点(2,1,1)，法向应力为

pxx103008(103)(1)(1)10299.992Nm2

pyy10300Nm2

pzz103008(103)(1)(1)10300.008Nm2

切应力按（1-41）式为

,.

xy(vu)(04xz)4xz xyv)(2z22z) yzyz(xz(u)(04xy) xz在已给点(2,1,1)的切应力为

xy1034(2)(1)8103Nm2 yz103(22)0

xz103(421)8103Nm2

本例题说明，已知流速场和及p以后，从本构方程即可得任一点处的各个应力分量。