一、选择题 1．（4分）若式子A．x＞1
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≥1
C．x≥0，x≠1
D．x＞0
2．（4分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A．x+＝0 C．ax2+bx+c＝0
B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝1
3．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A．
，
，，3
B．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
C．1，
4．（4分）以下运算错误的是（ ） A．C．
B．D．
5．（4分）已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（ ） A．﹣2
B．﹣3
C．3
D．1
的结果是（ ）
6．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
A．a+b
B．﹣a+b
C．a﹣b
D．﹣a﹣b
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），以点A为圆心，AB的长为半径画弧交x轴正半轴于点C，则C点坐标为（ ） A．（2，0）
B．（3，0）
C．（4，0）
D．（5，0）
型无理
8．（4分）我们把形如a数，如3A．
+1是
+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做
型无理数，则（B．
型无理数
）2是（ ） C．
型无理数
D．
型无理数
型无理数
b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， 9．（4分）已知a，则a2+b2+ab的值为（ ）A．3
B．4
C．5
D．6
10．（4分）如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，
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直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25 B．41 C．62 D．81
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）若x＝
+1，y＝
﹣1，则xy＝ ．
和
是同类二次根式，则n＝ ．
12．（5分）若两个最简二次根式
13．（5分）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是 ．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把BE的长为 ． ∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）计算：
﹣
+2
．
16．（8分）用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）观察下列各式，回答问题： ①
；②
；③
…．
（1）根据上面三个等式提供的信息，写出第四个等式 ；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明你的结论．18．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成 数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
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四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝2有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x12+x22＝11，求k的值．
20．（10分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求AB边上的高．
五、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：
﹣
＝
＝
．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
，
因为
+
﹣＞
+﹣＝
和
．
，所以，﹣
﹣
＜
．
的大小可以先将它们分子有理化如下：
﹣
＝
再例如，求y＝的最大值、做法如下：
﹣
＝
．
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝
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当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较（2）求y＝
﹣﹣
和
﹣
的大小；
+3的最大值．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？ （2）要想平均每天赢利1000元，可能吗？请说明理由． 八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式
+
的最小值．
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（4分）若式子A．x＞1
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≥1
C．x≥0，x≠1
D．x＞0
解：由题意得，x﹣1≥0，x≠0， 解得，x≥1， 故选：B．
2．（4分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A．x+＝0 C．ax2+bx+c＝0
B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝1
解：A、一元二次方程首先必须是整式方程，故本选项不符合题意； B、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a＝0时，就不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、去括号得：x2+x﹣2＝1，是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：D．
3．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A．
，
，，3 ）2+（
）2≠（
B．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C．1，
解：A、（
B、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，故符合题意； C、12+（
）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B．
4．（4分）以下运算错误的是（ ） A．C．
B．D．
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解：A、原式＝B、原式＝2C、原式＝D、原式＝2ab故选：C．
×，所以A选项的运算正确；
，所以，B选项的运算正确； ＝5，所以C选项的运算错误； ，所以D选项的运算正确．
5．（4分）已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（ ） A．﹣2
B．﹣3
C．3
D．1
解：把x＝2代入方程x2﹣（k+1）x+3k＝0得4﹣2（k+1）+3k＝0， 解得k＝﹣2． 故选：A．
6．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
A．a+b
B．﹣a+b
C．a﹣b
D．﹣a﹣b 的结果是（ ）
解：∵从数轴可知：﹣3＜b＜﹣2，1＜a＜2， ∴故选：D．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），以点A为圆心，AB的长为半径画弧交x轴正半轴于点C，则C点坐标为（ ） A．（2，0）
B．（3，0）
C．（4，0）
D．（5，0）
＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b．
解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝∴AC＝5，
∴C点坐标为（2，0）． 故选：A．
8．（4分）我们把形如a数，如3A．
+1是
+b（a，b为有理数，
为最简二次根式）的数叫做
型无理
＝5，
型无理数，则（B．
型无理数
）2是（ ） C．
型无理数
D．
型无理数
型无理数
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解：（所以（故选：C．
）2＝2+）2是
+10＝
型无理数，
，
b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， 9．（4分）已知a，则a2+b2+ab的值为（ ）A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， ∴a+b＝2，ab＝﹣1， ∴a2+b2+ab ＝（a+b）2﹣ab ＝4+1 ＝5． 故选：C．
10．（4分）如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25 B．41 C．62 D．81
解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是41﹣1＝40，即4×ab＝40， 即2ab＝40，a2+b2＝41， ∴（a+b）2＝40+41＝81． 故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）若x＝解：∵x＝∴xy＝（
+1，y＝
﹣1，则xy＝ 2 ．
+1，y＝+1）（
﹣1，
﹣1）＝3﹣1＝2；
故答案为：2．
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12．（5分）若两个最简二次根式解：∵最简二次根式∴n2﹣2n＝n+4， 解得，n1＝﹣1，n2＝4， 当n＝4时，∴n＝﹣
1，
＝
和
和是同类二次根式，则n＝ ﹣1 ．
是同类二次根式，
，不是最简二次根式，
故答案为：﹣1．
13．（5分）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是 x1＝﹣2，x2＝3 ． 解：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0 （x+2）（x﹣1﹣2）＝0 （x+2）（x﹣3）＝0 x+2＝0或x﹣3＝0 ∴x1＝﹣2，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝3．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 3 ．
或
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
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①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝
＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3， ∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝， ∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）计算：解：原式＝＝＝
．
﹣
+2
．
16．（8分）用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 解：∵△＝（﹣3）2+8＝9+8＝17，
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∴x＝∴x1＝
， ，x2＝
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）观察下列各式，回答问题： ①
；②
；③
…．
；
（1）根据上面三个等式提供的信息，写出第四个等式
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明你的结论．解：（1）由题意可得，第四个等式为：故答案为： （2）
， ；
；
证明：左边＝，
＝
＝
∴等式成立．
＝右边，
18．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成 数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，
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∵AC+AB＝10，BC＝4， 设AC＝x，则AB＝10﹣x， ∴x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝
，
．
答：AC的长为
四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝2有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x12+x22＝11，求k的值． 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0， 解得：k＞﹣．
故k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2﹣2， ∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， （2k+1）2﹣2（k2﹣2）＝11， 解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， 必须k＞﹣， ∴k＝﹣3舍去， 所以k＝1．
20．（10分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求AB边上的高．
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解：（1）△ABC为直角三角形， 理由：由图可知，
，BC＝
∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）设AB边上的高为h， 由（1）知，∴即
解得，h＝2， 即AB边上的高为2． 五、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：
﹣
＝
＝
．
＝
＝，BC＝，
h，
，AB＝5，△ABC是直角三角形，
，AB＝
＝5，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
，
因为
+
﹣＞
+﹣＝
和
．
，所以，﹣
﹣
＜
．
的大小可以先将它们分子有理化如下：
﹣
＝
再例如，求y＝的最大值、做法如下：
﹣
＝
．
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝
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当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较（2）求y＝解：（1）
，
而∴∴
， ＞＜
， ；
﹣﹣
和
﹣
的大小；
+3的最大值．
，
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝
当x＝1时，分母∴y＝
七、（本题满分12分）
22．（12分）某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？ （2）要想平均每天赢利1000元，可能吗？请说明理由．
解：（1）设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件， 依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750， 整理，得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15． ∵尽快减少库存， ∴x＝15．
答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元． （2）不可能，理由如下：
＝+
有最小值
+3．
， ，
有最大值是
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依题意，得：：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝1000， 整理，得：x2﹣20x+200＝0．
∵△＝（﹣20）2﹣4×1×200＝﹣400＜0， ∴此方程无实数根， ∴不可能盈利1000元． 八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式
+
的最小值．
解：（1）AC+CE＝；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6， 所以
，
则AC+CE的最小值为10；
（3）构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1， C为线段BD上一动点，设BC＝x，
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当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式
过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF． 则DF＝AB＝2，AF＝BD＝4，EF＝ED+DF＝1+2＝3， 所以
，
的最小值．
过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF．则DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6BF， 则AC+CE的最小值为5．
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