高中数学函数解题技巧方法总结(高考)精典版

高中数学函数解题技巧及知识点总结

高中数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于

根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。高中数学函数的出题方法更是千变万化，今天就高中数学函数解题技巧和方法给你讨论一番？

高中数学在函数篇中围绕以下知识点进行出题： 一.理解函数的概念，了解映射的概念.

二.了解函数的单调（+）性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

三了解反函数（v心）的概念及互为反（ms)函数的函(cg)数图象间(01)的关系，会求一些简单函数的反函数. 四.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 五.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 六.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

那么我们通过案例的方法具体的学习一下高中数学函数的解题技巧和方法。 一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

函数定义域求法：  分式中的分母不为零；  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 

正切函数ytanx xR,且xk,k

2当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他

们的交集，就得到函数的定义域。 三、. 如何求复合函数的定义域？

，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 如：函数f(x)的定义域是a，b义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

1

1例 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。

2四、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1例 求函数y=的值域

x2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型 通常用判别式xmxnx2mxnd. y型 xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x4例 求函数y=值域。

5x6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

ex12sin12sin1例 求函数y=x，y，y的值域。

e11sin1cos

2

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=2

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

x5log3x1（2≤x≤10）的值域

y的取值范围x2 (2)y-2x的取值范围y 解:(1)令k,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.

x2 (1) dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR 例求函数y=

例求函数y=

(x2)2+

(x8)2的值域。

x26x13+

x24x5的值域

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方

3



等技巧。 例：

x22(x0)x111133x23xxxx =x2 (应用公式a+b+c33abc时，注意使3者的乘积变成常数）

x2(3-2x)(0有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

x2的值域 x3x2x3x20时，1x21x2yx2yx20时，y=00y1x220y1 212多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求

f(x1)f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系

x1x2f(x2)(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

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(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减） f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g( ) ) )] x) x) 都是 正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减

如：求ylog1x22x的单调区间

2

六、.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（ ）

七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

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（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)2x1

2x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

八.判断函数奇偶性的方法

1、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 2、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)3、复合函数奇偶性 f(g) g(x) f[g(x)] 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

九、. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

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函数，T是一个周期。） 如：若fxaf(x)，则

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这

f(x)f(xt)0个函数周期2t. 推导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 如：

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

十. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y) f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x) f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b左移a(a0)个单位 将yf(x)图象 yf(xa)yf(xa)b右移a(a0)个单位下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面 f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面 如：f(x)log2x1

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作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a 十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b) xxa2b4acb2 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线

2a4a2b4acb2b 顶点坐标为，，对称轴x

4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a a0，向下，ymax根的关系：xb2a4acb2

4a

bc x1x2,x1x2,|x1x2|aa|a|

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二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

b） fmaxf(m),fminf(n)2ab区间在对称轴右边（m） fmaxf(n),fminf(m)2ab区间在对称轴2边 （nm）

2a4acb2 fmin,fmaxmax(f(m),f(n))4a也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大区间在对称轴左边（n(只讨论a0的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

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0在区间（m，n）内有2根mb2anf(m)0 f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0（4）指数函数：yaxa0，a1 （5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0y k O k x

15. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，ap1ap(a0)

m annam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：loga(MN)logaMlogaNM0，N0 logMaNlog，logn1aMlogaNaMnlogaM 10

对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：logablogcbnlogambnlogablogcam

1logaxlogxa

16. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……



（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 2. 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（3.

指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4.

对数函数型的抽象函数

x）＝ f（x）－f（y） yf(x) f(y)xf(x)）＝ yf(y)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（5.

三角函数型的抽象函数

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f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝

f(x)f(y) 1f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

f(x)f(y)1

f(x)f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（

x1x·x2）＝f（1）f（x2）； x2x2 （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1）f（0）；

(2)对任意值x，判断f（x）值的符号. 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

x分析：先猜出f（x）＝2；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1） f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝

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g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b， 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)1；

f(x2)f(x1)② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问： （1） f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数； （3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数；

1（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

2分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1； （2） 令y＝ －1； （3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2） f（x）在x∈R上是减函数. 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝

f(x)， f(y)进而由x1＜x2，有

f(x1)＝f（x1－x2）＞1. f(x2)有关高中数学函数的解题技巧和方法今天就和你探讨到这里，你的满意就是我们创作的动力，想学习高中数学的更多的知识点，去文章中找。更多的视频教学分享给你，更有机会赢的老师一对一的辅导，高中数学取的高分不是梦。

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