全等三角形中题型归纳讲解

一、含有公共边（线段）

例1已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。

D

F

A

二、含有公共角（夹角）

B

例2已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。 A

D

三、直角三角形

C E

B

C E

例3已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与

CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=

与BC的大小关系如何。

1BF (3)CE2

四、角平分线

例4.已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，•它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线．

五、中线（点）

例5如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于F,且AE=EF,说明AC=BF的理由

1

六、二次全等

例6已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED。 D A E C B

七、线段和差倍分 例7如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求

P证：AD+BC=AB． CE

D

BA

AD八、常见辅助线归纳总结

例8如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。

E

B C

例9在△ABC中，,AB=AC， 在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE交BC于点F，求证DF=EF . A D

F CB

九、全等与等腰三角形

例10已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C． E求证：OA＝OD．

2

十、全等与等边三角形(提高)

例11（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三

角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB

B 和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

C B C

E E

A O D A O D 图8 图7

十一、运动与探索(提高)

20.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

M

M C

M C D C

E N D E

3

A 图1

B A

图2

B

A N D

图3

E N

B

课后练习

1如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

N

2如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

3如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证

明。

你添加的条件是：________ ___

（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）

4如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA

D是∠DCF的平分线。 A

F

CB

4

A D

M

B C

5已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A DM

PN

C

6.已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E点，若OA=OB，求证：AE=BE。

B D O C E A

B

7 如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：

ACFBDE。

8如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

A MF E BDC

9如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

5

10 如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM交于Q点。求AQN的度数。

CN，AM与BN

11在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。 （1） 求证：CE=CF。

（2） 在图中，若G点在AD上，且∠GCE=45° ，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

AEBGDFC思考：如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

1

（1） 若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

2

（2） 若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，

求出它的度数，并说明理由。

CDBAE 6