学业分层测评 第3章 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析

学业分层测评 第3章 1.1 分析 1.2 相关系数 1.3 性化的回归分析

回归可线

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是( )

A．直线l1和l2都过点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．直线l1和l2必平行 D．直线l1和l2必重合

【解析】 线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．

【答案】 A

2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )

A．一定是20.3%

B．在20.3%附近的可能性比较大 C．无任何参考数据 D．以上解释都无道理

【解析】 将x＝36代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.

【答案】 B

3．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B．线性相关系数可以是正的或负的

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【答案】 相关

7．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以(x，y)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．

【解析】 ∵r＜0时b＜0， ∴大多数点落在第二、四象限． 【答案】 二、四

8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

【解析】 儿子和父亲的身高可列表如下：

父亲身高 儿子身高 173 170 170 176 176 182 设线性回归方程y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－bx＝176－173＝3，故线性回归方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.

【答案】 185 三、解答题

9．关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 如由资料可知y对x呈线性相关关系．试求： x－yxy－n－

 －

(1)线性回归方程：a＝y－bx，b＝

x－nx

n

iii＝1n

2

i

2

i＝1

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

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2＋3＋4＋5＋6

【解】 (1)x＝＝4，

52.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0y＝＝5，

5

x2i＝90，xiyi＝112.3，

i＝1

i＝1

55

x－yxiyi－5－

i＝1

5

b＝

2

x2i－5xi＝1

5

112.3－5×4×5

＝＝1.23. 290－5×4

于是a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.

(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．

10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温/℃ 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 －1 64 画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系． 【解】 画出散点图如图所示． 1

x＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，

61

y＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，

6

xxiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910，

i＝1

6

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222222

xx2i＝26＋18＋13＋10＋4＋(－1)＝1 286， i＝1

6

222222xy2i＝20＋24＋34＋38＋50＋64＝10 172， i＝1

h

6

由r＝

∑ xy－nx yi＝1ii

2－n∑ x1i＝inx

22－n∑ yi1i＝

n，

y2

可得r ≈0.97.

由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系．

[能力提升]

1．经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：

x y 15 102 16 98 18 115 19 115 22 120 由表中样本数据求得回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)与直线x＋18y＝100的位置关系是( )

A．a＋18b＜100 B．a＋18b＞100 C．a＋18b＝100

D．a＋18b与100的大小无法确定 【解析】

1

x＝(15＋16＋18＋19＋22)＝18，

5

1

y＝(102＋98＋115＋115＋120)＝110，

5所以样本数据的中心点为(18,110)， 所以110＝18b＋a，

即点(a，b)满足a＋18b＝110＞100.

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【答案】 B

2．已知x与y之间的几组数据如下表：

x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是

A．b>b′，a>a′ C．ba′

B．b>b′，a【解析】 由(1,0)，(2,2)求b′，a′. 2－0b′＝＝2，

2－1a′＝0－2×1＝－2. 求b，a时，

xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

i＝1

6

x＝3.5，y＝

6

13， 6

x2i＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

i＝1

∴b＝

58－6×3.5×

13

6

91－6×3.52

5＝， 7

a＝

1351351－×3.5＝－＝－， 67623

∴ba′. 【答案】 C

3．已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线

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性回归方程为y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据m的值为________.

x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 m 0＋1＋3＋42.2＋4.3＋4.8＋m11.3＋m－

【解析】 x＝＝2，y＝＝，把(x，

44411.3＋m－

y)代入回归方程得＝0.95×2＋2.6，解得m＝6.7.

4

【答案】 6.7

4．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：

x y x y 9.5 6 19.5 2.5 11.5 4.6 21.5 2.4 13.5 4 23.5 2.3 15.5 3.2 25.5 2.2 17.5 2.8 27.5 2.1 散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存b

在关系式：y＝a＋x.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．

1

【解】 设u＝x，则y≈a＋bu，得下表数据：

u y u y 0.105 3 6 0.051 3 2.5 0.087 0 4.6 0.046 5 2.4 0.074 1 4 0.042 6 2.3 0.064 5 3.2 0.039 2 2.2 0.057 1 2.8 0.036 4 2.1 进而可得n＝10，u≈0.060 4，y＝3.21，

uu2i－10u2≈0.004 557 3，

i＝1

10

uiyi－10u y≈0.256 35，

i＝1

10

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b≈

0.256 35

≈56.25，

0.004 557 3

a＝y－b·u≈－0.187 5，

56.25

所求的回归方程为y＝－0.187 5＋x.

当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.

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