2015年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义 专题三 三角函数

一、 知识要点

（1） 任意角的三角函数： （2） 弧长公式：

laR R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。

（3） 扇形的面积公式：S1lR R为圆弧的半径，l为弧长。 2sinacosaa， cot

cosasina（4） 同角三角函数关系式：

①倒数关系： tanacota1 ②商数关系：tana③平方关系：sin2acos2a1

（5） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性

函 数 x a 2a 2a sinx sina sina cosx cosa cosa sina tanx tana tana cota cotx cota cota tana cosa 2.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：

cos()cosacossinasin sina()sinacoscoassin

tana(a)tanatan 注：公式的逆用或者变形 ．．．．．．．．．1tanatan（2）二倍角公式：

sin2a2sinacosa cos2acos2asin2a12sin2a2cos2a1 tan2a2tana 从二倍角的余弦公式里面可得出 21tana1cos2a1cos2a22降幂公式：cosa ， sina

22（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：

sina1cosaa1cosasina1cosaa1cosacostan， ，

222221cosa1cosasinaycosx （-∞，+∞） [-1,1] [-1,1] 3.三角函数的图像和性质：（其中kz） ysinx 三角函数 定义域 值域 （-∞，+∞） ytanx xk 2（-∞，+∞） 最小正周期 奇偶性 单调性 [2kT2 奇 2,2kT2 偶 [(2k1),2k] 单调递增 [(2k,(2k1)] 单调递减 (kT 奇 2 ]2单调递增 [2k,k )22,2k3 ]2单调递增 单调递减 对称性 xk 2xk ((k,0) 零值点 最值点 (k,0) 2xk k,0) 2xk xk2 xk  2x2k， ymax1； ymax1 xk 无 2 ymin1 x(2k1)， ymin1 4.函数yAsin(x)的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如yAsin(x)图像及性质） （1） 函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期都是T2

（2） 函数yAtan(x)和yAcot(x)的周期都是T 3、、、2来22（3） 五点法作yAsin(x)的简图，设tx，取0、

求相应x的值以及对应的y值再描点作图。

（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个

变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:

函数的平移变换：

①yf(x)yf(xa)(a0) 将yf(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）

②yf(x)yf(x)b(b0) 将yf(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）

函数的伸缩变换：

①yf(x)yf(wx)(w0) 将yf(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

1倍（w1缩短， 0w1伸长） w ②yf(x)yAf(x)(A0) 将yf(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A1伸长，0A1缩短） 函数的对称变换：

①yf(x)yf(x)) 将yf(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于x轴对称）

②yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于y轴对称）

③yf(x)yf(x) 将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）

④yf(x)yf(x)保留yf(x)在x轴上方图像，（局x轴下方图像绕x轴翻折上去部翻动）

5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。

222222

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

2

2－

22等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=absin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=

2b确定。 a二、沙场点兵

一、基础题

1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．

2．求

tan(120)cos(210)sin(480)tan(690)sin(150)cos(330)的值。

3．若

sinxcosx2,，求sinxcosx的值．

sinxcosx

4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．

5．求函数y2sin(xπ)在区间[0，2]上的值域． 26

6．求下列函数的值域．

(1)y＝sin2x－cosx+2；

(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．

7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．

8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

π21sinx数y的值域．

3cosx

(Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．

9． 已知tan

10、求函数y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。 10．

已知函数y=

2，求（1）

cossin；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

cossin132

cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）,当函数y取得最大值时，求自22变量x的集合。

二、选择题

1. y(sinxcosx)1是 （ ） A．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的偶函数 2.为得到函数ycosxA．向左平移

B．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为π的奇函数

2π的图象，只需将函数ysinx的图像（ ） 3

B．向右平移

π个长度单位 6π个长度单位 6C．向左平移

5π个长度单位 6 D．向右平移

5π个长度单位 63.若sin0且tan0是，则是 （ ） A．第一象限角

B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角

4．函数f(x)sinxcosx的最大值为 （ ） A．1 B． 2 C．3 D．2 5.函数ysin(2xA．x3)图像的对称轴方程可能是 （ ）

B．x6

12

C．x6

D．x12

6.函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移

个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析2式为 ( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 7.已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是 （ ）

的奇函数 2C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数

2A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为

8.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为 （ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

3 2 D. －2，

3 29.将函数ysin(x)的图象F向右平移轴是直线x A.

个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称31,则的一个可能取值是 （ ）

511511 B. C. D.

12121212sinx10.函数f(x)是 （ ）

xsinx2sin2A．以4为周期的偶函数 B．以2为周期的奇函数 C．以2为周期的偶函数 D．以4为周期的奇函数

11.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则

MN的最大值为 （ ）

A．1

B．2 C．3 D．2

12.已知cosπ47π，则sin3sin的值是（ ）

656B．

A．23 523 5

C．44 D． 5513. sin330等于 （ ） A．3 2 B．211 C． 22 D．3 214.tanxcotxcosx ( ) Ａ.tanx Ｂ.sinx Ｃ.cosx Ｄ.cotx 15.把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的（ ） A．ysin2x个单位长度，再把所得图象31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 2，xR 3 B．ysinx，xR 26，xR 3C．ysin2x16.设asin，xR 3 D．ysin2x252，bcos，ctan，则 （ ）

777B．acb C．bca D．bac

2A．abc

17.函数y(sinxcosx)1的最小正周期是 （ ）

3 B. C. D.2 22x31

)(x[0，2])的图象和直线y的交18.在同一平面直角坐标系中，函数ycos(222

A.

点个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 三、填空题

19.若角的终边经过点P(1，2)，则tan2的值为 ．

20.fxcosx的最小正周期为，其中0，则= ．

56

2sin2x121.设x0，，则函数y的最小值为 ．

sin2x222.若sin(3)，则cos2_________。 25

23.函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是

2四、解答题

24.求函数y74sinxcosx4cos2x4cos4x的最大值与最小值。

25.已知函数f(x)sin2x3sinxsinxπ（Ⅰ）（0）的最小正周期为π．

2求的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间0，上的取值范围．

3

26.已知函数f(x)2cos（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

22π x2sinxcosx1（xR,0）的最小值正周期是．

2

27.已知函数f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x) 344（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[

28.已知函数f(x)2sin,]上的值域 122xxxcos23sin23． 444（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g(x)fx

π，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3