数值分析期末复习资料-福大研究生版

题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明

第一章 误差与有效数字

一、 有效数字

1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零

数字共有n位，就说x*有n位有效数字。 2、 两点理解：

（1） 四舍五入的一定是有效数字

（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 1r*10(n1)2a13、 定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为

4、 考点：

（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）

二、 避免误差危害原则 1、 原则：

（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a）

ε（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. xεx;xεx ε2xln xεlnxln1;2sin1cosx  x  2 或

（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14

三、 数值运算的误差估计 1、 公式：

（1） 一元函数：|ε*( f (x*))|  | f ’(x*)|·|ε*(x)|或其变形公式求相对误差

（两边同时除以f (x*)） eg.P19习题1、2、5

（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4

第二章 插值法

一、 插值条件

1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜„＜xn≤b的函数值

i0,1,2,,nyi=f(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使 Pn(xi)yi2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一

二、 拉格朗日插值及其余项

1、 n次插值基函数表达式（P26（2.8）） 2、 插值多项式表达式（P26（2.9）） 3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计

4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1

三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：

（1） 可表示为函数值的线性组合

（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式

四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：

（1） 用定义做：设P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（4个条件：

节点函数值、导数值相等各2个）

（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义

（1） 分段函数，每段都是三次多项式

（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）

考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题

第三章 函数逼近与曲线拟合

一、 曲线拟合的最小二乘法

解题思路：确定i，解法方程组，列方程组求系数（注意i应与系数一一对应）eg.P95习题17

S(xj)yj,j0,1,,n形如y=aebx解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代

第四章 数值积分与数值微分

一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x2, „xn代入式子求解 eg.P100例1

二、 插值型的求积公式

求积系数

定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

三、 牛顿-科特斯公式

1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性 2、 定理：当阶n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度 3、 复合梯形公式（P106）及余项（P107）

4、 复合辛普森公式及余项（P107）

四、 高斯型求积公式

1、定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk为高斯点。

第五章 解线性方程组的直接方法

一、 LU分解

1、特点：L对角线均为1，第一列等于A的第一列除以a11；U的第一行等于A的第一行

2、LU分解唯一性：A的顺序主子式Di≠0

675x19二、 平方根法

例题：用平方根法解对称正定方程组 7138x210586x9解：先分解系数矩阵A

3

三、 范数

1、向量范数定义及常用范数

2、矩阵范数定义及常用范数

3、条件数

4、谱半径（非常重要）

可用于填空题计算以及大题证明题中判断收敛

第六章 解线性方程组的迭代法

一、 雅克比和高斯-赛德尔迭代法

用向量法

二、 迭代收敛性判断

迭代法收敛的两种判断方法： 1、 严格对角占优

2、 谱半径小于1（谱半径越小，收敛速度越快）

三、 SOR法

1、 计算公式（P194）

2、 SOR迭代法收敛的必要条件：SOR迭代收敛，则0〈W〈2。

3、 SOR迭代法收敛的充要条件：A为对称正定矩阵且0〈W〈2，则SOR收敛。

第七章 非线性方程与方程组的数值解法

一、 二分法

1、 优缺点：算法简单且总是收敛，但收敛慢。

*x1(ba)1(ba)x2、 公式 n n n n  1 ＜ε

22可能考点：已知ε、b、a，求n

二、 不动点迭代及收敛性

1、 形式：xk+1=(xk) (k=0,1,2,) （由f(x)=0移项得） x*=(x*)为(x)的不动点

2、 定理1（不动点存在唯一性或整体收敛）：设(x)∈C[a, b]满足以下两个条件： 1º 对任意x∈[a, b]有a≤(x)≤b.

2º 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有 (x)(y)Lxy则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*。

3、 定理2：设(x)∈C[a, b]满足定理1中的两个条件，有误差估计式 LkLxxkx1x0.或xxkxk1xk. 1L1L4、 定理3（局部收敛）：设x为(x)的不动点，*

(x)在x*的某个邻域连续，

且

(x)1 ，则迭代法xk+1=(xk)局部收敛.

做法：不动点x*不知道，用x*附近的x0代替（题目已知“根附近x0”，代入x0证明

(x)1，则迭代法局部收敛）

5、 定理4（收敛阶的定义及判定定理）：对于迭代过程xk+1=(xk)，如果(p)(x)在所求根x*的邻近连续，并且 (x)(x)(p1)(x)0,(p)(x)0.则该迭代过程在x*的邻近是p阶收敛的.

三、 牛顿迭代法（切线法）及应用（大小题都可考）

f(xk)1、 公式：

xk1xk(k0,1,) f(x)2、 收敛性：x*为单根时，牛顿迭代法在根x*的邻近是二阶(平方)收敛；x*为重根时，仅为线性收敛。 3、 应用：用牛顿法求C

解法：令f(x)=x2-c，代入公式求解。Eg.P239习题13

第八章 矩阵特征值计算

一、 格什戈林圆盘

掌握λ范围即可。Eg.P243例1 v0u00,k二、 幂法

vkAuk1,1、 计算公式： 

(k1,2,)kmaxvk,

uv/. kk 向量的规范化klimuk则有

kx1,lim.1max(x1)kk eg.P248例2

三、 豪斯霍尔德变换（初等反射矩阵） 1、 定义

2、 约化定理（P255）eg.P260例7

考点：用初等反射矩阵将A进行QR分解或转化为上海森伯格矩阵（思想相同，不同之处上海森伯格矩阵对角线下还有一列） 四、 吉文斯变换（平面旋转变换）

思想：将每列aii以下的元素一个一个变为0. Eg.P257

第九章 常微分方程初值问题数值解法

一、 欧拉公式

hf1、公式： y n  1  y n  ( x n , y n ) eg.P317习题4

二、 梯形公式 hf(xn,yn)f(xn1,yn1)1、公式： yn1yn2考法：用移项做，将右式中的yn+1移到左边，求出yn+1的表达式，再将各节点代入求解yi eg.P317习题3

三、 改进的欧拉方法（二阶R-K公式）

y1、公式：n1ynhf(xn,yn),

hyn1yn[f(xn,yn)f(xn1,yn1)].2

Eg.P316习题2

四、 局部截断误差

1、定义：Tn+1=y(xn+1)-yn+1=O(h

(p+1)

).——p阶精度

注意点：要求局部截断误差主项时还应多写一项；泰勒展开 eg.P317-318习题6、7、11、12

预测考题： 一、 填空

1、 有效数字计算

2、 避免误差危害原则 3、 误差估计

4、 插值条件定义：求n次插值多项式 5、 插值基函数性质 6、 差商的对称性

7、 三次样条插值定义：求系数

8、 根据代数精确度定义求解等式右边的系数或求解代数精确度 9、 向量或矩阵范数、条件数计算 10、 二分法：求n

二、 判断

1、 插值条件定理（条件缺一不可）。Eg.对给定的数据做插值，插值函数个数可以有许多。（√）

2、 给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。（×） 3、 代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。（×） 4、 求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。（×） 5、 梯形公式与两点高斯公式的精度一样。（×） 6、 SOR迭代法收敛，则松弛参数0〈W〈2。（√） 7、 A对称正定则SOR迭代一定收敛。（×） 8、 只要矩阵是对称的，则

A1A。（√）

9、 x*为单根时，牛顿迭代法是二阶收敛的，x*为重根时，是线性收敛的。所以牛顿迭代法总是收敛的。（×） 10、

(x)1一定收敛。（×）或(x)≥1一定发散。

（√）

11、 |1+hλ |≤1为欧拉法的绝对稳定域，hλ越大越稳定。（√）

三、 计算

1、 牛顿插值多项式计算 2、 最小二乘拟合

3、 复合梯形公式及余项或复合辛普森公式及余项考一题 4、 利用LU解方程组

5、 代数精确度：求等式右边系数、代数精确度m、余项 6、 利用初等反射矩阵或吉文斯变换进行QR分解 7、 用梯形公式或改进的欧拉公式求解初值问题

四、 证明

1、 用雅克比和高斯-赛德尔迭代法证明收敛性（借助谱半径求解）eg.P209习题3、5、6

2、 不动点迭代（应用定理4）

可能考题：证明某个迭代式子至少3阶收敛

解法：计算1阶、2阶导数为0，无需证明3阶不为0（如果题目是“证明某个迭代式子是3阶收敛”，则需证明3阶不为0）eg.P239习题15 3、 局部阶段误差

可能考题：给定yn+1的式子，求式子中的系数及局部阶段误差主项，并说明是几阶

解法：利用局部截断误差的定义并借助泰勒展开