2019 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 已知正实数 满足
，则
的值为
.
2. 若实数集
值为
的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 的.
，且 对任意
向量 满足 3. 平面直角坐标系中， 是单位向量，
实数 成立，则
的取值范围是 .
为 的两个焦点，
，则
的面积为
， ，
.
中随机选出一个数
.
在 上的最大值. 若正数 .
满足
4. 设
为椭圆 的长轴顶点，
为 上一点，满足
5. 在
中随机选出一个数 ，在 被 整除的概率为
表示函数
，则
6. 对任意闭区间 ，用
， 则 的 值为
7. 如图，正方体
的一个截面经过顶点
的两部分，
及棱
上一点 ，且将正方体分成体积比为
则
的值为
.
8. 将 个数 按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则
.
产生的不同的 位数的个数为
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9. 在
中， 与
， ， .若 是 与 的等比中项，且 的值.
是
的等差中项，求 中，圆 与抛物线
10. 在平面直角坐标系
恰有一个公共点，且圆 与 轴
相切于 的焦点 .求圆 的半径.
11. 称一个复数数列
为“ 有趣的” ， 若 ， 且对任意正整数 ，均有 及任意正
.求最大的常数 ，使得对一切有趣的数列
整数 ，均有
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