高考立体几何复习

作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,,0)22244,

22222MN(1,,1),OP(0,,2),OD(,,2)44222(1)

OP0,nOD0 设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则n2y2z022x2y2z02即 2 取z2,解得n(0,4,2)

22∵MNn(1,,1)(0,4,2)044

zOMAxBNCPDyMN‖平面OCD

22∵AB(1,0,0),MD(,,1)22(2)设AB与MD所成的角为,

ABMD1∴cos,∴3ABMD2 , AB与MD所成角的大小为3

(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n(0,4,2)上的投影的绝对值,

OBn22dn3 由 OB(1,0,2), 得.所以点B到平面OCD的距离为3 点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。

第 1 页 共 6 页

例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： （1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O⊥平面MAC.

11于O,O1 证明: (1)连结BD,B1D1分别交AC,AC11D1中,对角面BB1D1D为矩形 在正方体ABCDA1BCO,O1分别是BD,B1D1的中点BO//DO11

四边形BO1D1O为平行四边形BO1//D1O

D1O平面A1BC1,BO1平面A1BC1D1O//平面A1BC1

11D1的棱长为a, （2）连结MO,设正方体ABCDA1BC11D1中,对角面BB1D1D为矩形且BB1a,BD2a 在正方体ABCDA1BC O,M分别是BD,BB1的中点

BMBO2a2BM,BOODaODDD2 22 1

BOMD1D O RtMBORtODD1 OMODDODOD90BOMDOD90RtODD11111中， 在 ，即D11D1中 在正方体ABCDA1BC1AC DD1平面ABCD DD

又ACBD，DD1BDD AC平面BB1D1D

1O D1O平面BB1D1D ACD 又ACMOO D1O平面MAC

点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线

垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．

例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点． (I) 求证：平面PDC平面PAD； (II) 求证：BE//平面PAD．

D 第 2 页 共 6 页

P E C

B

A

证明：（1）由PA平面ABCD

CD面PADCD面PAD

CDAD（已知）PACDPAADA

平面PDC平面PAD；

（2）取PD中点为F，连结EF、AF，由E为PC中点，

得EF为△PDC的中位线，则EF//CD，CD=2EF． 又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF∥AB． 所以四边形ABEF为平行四边形，则EF//AF． 由AF面PAD，则EF//面PAD．

点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直． 例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA底面

ABCD，E是SC上一点．

（1）求证：平面EBD平面SAC；

（2）设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离； (1)证明：SA底面ABCD SABD

且BDAC BD平面SAC 平面EBD平面SAC (2)解：因为VA-SBDVS-ABD，且

SSBD122322，

BEADCS4 可求得点A到平面SBD的距离为3

点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．

考点六：空间向量

【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．

【命题规律】空间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中，难度为中等偏难． 例１３、如图1，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，

第 3 页 共 6 页

BCA90°，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

求BN的长；

求

cosBA1，CB1的值．

解：如图1，建立空间直角坐标系Oxyz． （1）依题意，

1，，0)N(1，0，1)，得B(0，∴BN(10)2(01)2(10)23．

，0，，2)B(0，1，，0)C(0，0，，0)B1(0，1，2)， （2）依题意，得A1(1·CB13，BA16，CB15∴BA1(1，1，，2)CB1(01，，2)．∴BA1．

BA1·CB130∴cosBA1，CB110BA1CB1．

点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量

的夹角、长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标

例１４、如图2，在四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC．已知

PD2，CD2，AE12．求：

异面直线PD与EC的距离； 二面角EPCD的大小．

解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直

x，，y轴，建立空间直角坐标系，z

线分别为

并设

D，则

1，(，，C2，，02．

A(，，，a0，，，0，，，B)，，，aD)(P02E03a∵PECE2∴PE·CE0∴DE·CE0，即DECE， （1），，解得．

又DEPD，故DE是异面直线PD与EC的公垂线．

第 4 页 共 6 页

而

DE1，即异面直线PD与EC的距离为1．

（2）作DGPC，并设G(0，y，z)，

(，0，y，)z ∵DGP，C，(02，2)DGPC且·，，2)．0，∴可取DG(01 则z2y，

31∵EF，m，n22F(0，m，n)， 再作EFPC于F，并设，3122EFn2m2，，222． EF·PC0∴且，则，又取

DGPCEFPCDGEF 由，，可知与的夹角就是所求二面角的大小，

D·GEF2∴cosDGEF2π，即所求二面角为4．

点评：向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式：①先作、证二面角的平面角AOB，再求得二面角的大小为

OA·OBarccosOAOB；②先求二面角两个半平面的法向量n1，n2（注意法向量的方向要分布

arccosn1·n2n1n2在二面角的内外），再求得二面角的大小为或其补角；③先分别在二面角

两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角． 例１５、 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1．

证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正三棱柱的底面边长为a，侧棱

3a3aaA(0，0，，0)Ba，，0，Ba，，b，C(0，a，b)，D010，，221222长为b，则，

第 5 页 共 6 页

3aa3∴AB1a，，bBDa，0，0，DC0，，b12222，．

设平面DBC1的一个法向量为n(x，y，z)，

3n·BDax0，x0，2aanzy.·DC1ybz0，2b，a)． 2b2则所以 不妨令y2b，则n(0，·nabab0，得AB1n． 又AB1平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1． 由于AB1点评：平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中

都有很好的应用.

第 6 页 共 6 页