专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题(解析版)

数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略

类型一 数列中的恒成立问题

【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列数列式A．C．【答案】A 【解析】 由题意得

.

由得

， ，

则不等式而

，

，

，

，即

， ，

恒成立.

恒成立等价于

恒成立，

，则

，等差数列

的公差

，

满足

，记数列

满足

，

，

，，不等

的前项和为，若对于任意的

恒成立，则实数的取值范围为（ ）

B．D．

问题等价于对任意的设则

解得故选:A.

或.

【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得的

，进而由递推关系可得

，

恒成立.

，借助裂项相消法得到，又

，问题等价于对任意

2【举一反三】已知数列an的首项a1a，其前n项和为Sn，且满足SnSn14nn2,nN，若

对任意nN,anan1恒成立，则a的取值范围是（ ） A．3,5 B．4,6 C．3,5 D．4,6 【答案】A

类型二 数列中的最值问题

【例2【】浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列的正整数的最小值是（ ） A．2018

B．2019

C．2020

D．2021

满足

，

，则使

【答案】C 【解析】 令因为设当

时,则

,所以,所以数列, 当

单调递增， 时

, ，从而

，

所以当从而因此选C.

时

,

，，

,

，

【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根

据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键 【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列

，

，

，若

，

的前项和分别为，，且

恒成立，则的最小值为（ ）

A． 【答案】B 【解析】 当

时，

B． C．49 D．

，解得.当时，由，由于.则

，所以

，得，两式，故

，故

是

相减并化简得

首项为，公差为的等差数列，所以

，

由于是单调递增数列，故的最小值为，故选B.

，

.

类型三 数列性质的综合问题

【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列3≤【答案】【解析】 在等差数列∴又∴由∴∴

． 得

，即， ．

．

，

中，

，

，

≤6，则的取值范围是_______．

的前n项和为，若1≤≤3，

即的取值范围是．

故答案为：．

求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.

【指点迷津】1.本题先根据

2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如anqan1pp0,q1的递推数列求通项往往用构造法，即将anqan1pp0,q1利用待定系数法构造成anmqan1m的形式，再根据等比数例求出anm的通项，进而得出an的通项公式. 【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列为数列【答案】 【解析】 数列

的首项

，

的前项和若

的首项

恒成立，则的最小值为______．

则：故数列则：故：

是以

常数

为首项，3为公差的等差数列． 首项符合通项． ，

，

，

由于数列故：

，

的前n项和恒成立，

则：t的最小值为， 故答案为：．

类型四 数列与函数的综合问题 【例4】已知函数

的定义域为，当

时，

，且对任意的实数，

，

恒成立，若数列A．C．【答案】C 【解析】

满足

（B．D．

）且，则下列结论成立的是（ ）

对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1． 当f（0）＝0时，所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x）设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）∴函数f（x）在R上单调递减．

，

1，∴f（x1）＞f（x2）．

，得

余题意不符，故舍去.

∵数列{∴∴∴∴∴f（∴f（而f（

＝＝

}满足f（an+1）f（

）＝1＝f（0）．

0，∵a1＝f（0）＝1， ，＝﹣2，＝1，．

，

））＞f（）＝f（）＝f（

＝＝1．1，f（）． ），f（）＜f（

）＜1＜f（）＝f（﹣2），

），

＝

，

＝＝﹣2．

，……．

）＝f（1）＜1．

f（

因此只有：C正确． 故选：C．

【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列

，若对于任意的

成立，则实数的取值范围为（ ） A．C．【答案】B 【解析】 由题，即

由累加法可得：即

B．D．

中，，不等式

恒

对于任意的即令可得

且

，不等式

恒成立

即

可得故选B

或

类型五 数列与其他知识综合问题 【例5】将向量a1,a2,,an组成的系列称为向量列an，并定义向量列an的前n项和

Sna1a2A. Snan．若an1anR,nN*，则下列说法中一定正确的是（ ）

a11n1 B. 不存在nN*，使得Sn0

C. 对m、nN*，且mn，都有Sm【答案】C

Sn D. 以上说法都不对

【解析】 由an1anR,nN*，则

an1，所以数列an构成首项为a1，公比为的等比数anna1,1列，所以Sn{a1n11,1 ，又当1时，

S2n0，

所以当m、nN*，且mn时， SmSn是成立的，故选C.

【例6】斐波那契数列an满足： a11,a21,anan1an2n3,nN*.若将数列的每一项按照下

图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论错误的是（ ）

2an B. a1a2a3A. Sn1an1an1·anan21

C. a1a3a5【答案】C

a2n1a2n1 D. 4cncn1an2?an1

a1a2a3an3an11...a1a31121 ,所以B正确；对于C, n1 时，

an22an12a1a21 ；an1,DC错误；对于D, 4cncn14anan1anan1an2?44正确.故选C.

【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

【举一反三】1.如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn,Dn在函数

1记矩形AnBnCnDn的周长为an，则fxx(x0)的图象上.若点Bn的坐标为n,0n2,nN，

xa2a3a10（ ）

A. 220 B. 216 C. 212 D. 208 【答案】B

2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112， 26， 34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解.当pq（pq且p,qN）是正整数n的最佳分解时，

*我们定义函数fnqp，例如f12431.数列f3【答案】3501

【解析】当n为偶数时， f3的前100项和为__________．

n0；当n为奇数时， f33nnn123n1223n12，

S100233...30149350150231，故答案为3501.

31类型六 数列与基本不等式结合的问题

【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列在两项A． 【答案】A 【解析】 因为数列所以所以因为

，

是正项等比数列，

，，，所以

，，

，

，， ，

，

， ，

使得

B．

，则

的最小值为

C．

D． 满足：

，若存

，当且仅当

所以

的最小值为，故选A.

时“=”成立，

【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是

，等比中项

查化归与转化思想.

【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数

A． 【答案】A 【解析】 由题可知：令又于是有因此所以当且仅当本题正确选项： 三．强化训练 一、选择题

1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列，使得A．

，则B．

的最小值为（ ）

C．3

D．

满足

，若存在两项

，

时取等号

B．

C．

，则D．

，若

的最小值为（ ）

，基本不等式有

，考查公式的使用，考

【答案】C 【解析】

解：设等比数列的公比为q（q＞0）， ∵a9＝a8+2a7， ∴a7q2＝a7q+2a7， ∴q2﹣q﹣2＝0， ∴q＝2或q=-1（舍）， ∵存在两项am，an使得∴∴故选C.

2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列

的前项和为，

，且满足

，

，

，若

A．

B．

，，则的最小值为（ ） C．

D．0

【答案】B 【解析】

由，得，且，

所以数列是以为首项、2为公差的等差数列，

则即令则故选：B．

，得

，又

，

， ，的最小值为

，由

，

.

3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列

的最大正整数的值为（ ）

中，，．则满足

A．10 【答案】C 【解析】

解：∵正项等比数列∴∵

，

或， .

B．11 C．12 D．13

中，，，

解可得，∴

（舍），

∵，

∴整理可得，∴经检验故选：C． 4.若数列

，

.

，

满足题意，

的通项公式分别为，且，对任意恒成

立，则实数的取值范围是( ) A．

B．

C．

D．

【答案】D 【解析】

，故

，故- a2，解a当n为奇数，-a<2+,又2+单调递减，故2+ a 当n为偶数，故选：D

又2-单调递增，故2-，故，综上

5．已知各项均为正数的数列

，A．【答案】C 【解析】

时，

化为：

，即

时，数列

B．

的前项和为，且

恒成立，则实数的取值范围为（ ）

C．

D．

，若对任意的

，

，

，

，

．

，解得．

为等差数列，首项为1，公差为1．

．

.

记，

.

.

所以为增数列，

，

,即

恒成立，

.

对任意的

，解得

实数的取值范围为故选：C．

．

6．【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列和为，则A．【答案】A 【解析】

与

的大小关系是 B．

C．

D．

的公比，其前n 项的

根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差

故选：A． 7．已知A．16 【答案】A 【解析】

解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列， 则

2

1； ，

，并且，，成等差数列，则B．9

C．5

的最小值为

D．4

则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；

当且仅当，即=时取到等号，

∴a+9b的最小值为16； 故选：A．

8．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设设

对一切

都有不等式

，点

，

，

，

成立，则正整数

，

的最小值为（ ） A． 【答案】A 【解析】 由题意知sin

，∴

，

B．

C．

D．

∴，随n的增大而增大，

∴∴

, ，即

，又f(t)=

在t

上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，

∴正整数的最小值为3. 二、填空题

9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20．已知数列若

是

中的最大值，则实数的取值范围是_____．

的前项和

.

【答案】【解析】 因为所以当当当当

时，时，时，

，

时，

也满足上式；

， ，

；

综上，因为是所以有故答案为

中的最大值，

且

；

，解得.

10．【2019届高三第二次全国大联考】已知数列若【答案】【解析】

的前项和为，，当时，，

恒成立，则正数的取值范围为____________．

由可知，数列是一个公差的等差数列，首项为，所以，

所以．故当时，

．显然当时，也满足上式．所以．所以

，所以

，由题意

恒成立，所以，解得．又，所以的取值范围为的前项和为，若

． ，则使

成

11．【云南省2019年高三第二次检测】已知数列立的的最大值是_____． 【答案】5 【解析】 因为

两式相减可得：即所以数列当n=1时，求得所以所以所以故答案为5

即

是以

即解得

可得：

化简可得：

为首项，公比为2的等比数列

成立的的最大值是5

12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列

，

【答案】9 【解析】 由题得

，

，则使得

中，，记

成立的最大正整数为__________．

因为数列是正项递增等比数,所以所以因为所以所以使得故答案为：9

. ，所以

.

成立的最大正整数为9.

，

，

13.已知数列an中， a12，点列P,2,在ABC内部，且PnAB与PnAC的面积比为2:1，nn1若对nN*都存在数列bn满足bnPnA【答案】80

【解析】在BC上取点D，使得BD2CD，则Pn在线段AD上．

1an1PnB3an2PnC0，则a4的值为______. 21bnPnAan1PnB3an2PnC0

21 an1BPnbnAPn（3an2）CPnb（）（3an2）（BPnBCn）nBPnBA2， 31an1bn3an2BPnbnBA（3an2)BD

22A，Pn，D 三点共线，

13 an1bn3an2bn（3an2)，即an13an2．22a23a128，a33a2226，a43a3280．

故答案为：80．

14.已知函数fx与i的夹角，则使得

1，点O为坐标原点，点Ann,fnnN*，向量i0,1，θn是向量OAnx2cos1cos2sin1sin2cosnt 恒成立的实数t的取值范围为 ___________． sinn【答案】, 【解析】根据题意得,

342n 是直线OAn的倾斜角，则：

sinncosn11112tanfnn，据此可得： sinn2nnn22nn2cosn2

结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为,.

3415.【新疆2019届高三一模】已知数列和为，若对一切【答案】7 【解析】 解：设数列

的公差为，由题意得， ，解得

， ，恒有

为等差数列，，，数列的前n项

，则m能取到的最大正整数是______．

，且，

，

令则即

，

则随着的增大而增大，即在

，

，

，

处取最小值，

对一切，恒有

，

成立，

即可，解得

故能取到的最大正整数是7．

16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列若

，则n的最大值为______．

的前n项和为，

，且

，

【答案】63 【解析】 由数列故则又

，

的前n项和为，

，则

，又

，

的偶数项成等差数列，

,（n为偶数）

，

为等差数列，首项为3，公差为4，

当n为偶数时，设数列可得，则

+

若

的前n项和为，

，

，无解舍去

当n为奇数时，

解

则n的最大值为63， 故答案为：63．

又

-(

=,又所以