圆锥曲线基础知识

圆锥曲线基础知识(总8页)

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圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF1PF24 B．PF1PF26

2C．PF D．PFPF2PF10112212（答：C）；（2）方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对

x2它们进行相互转化。如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P（x,y）,则

4y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2xacos（1）椭圆：焦点在x轴上时221（ab0）ybsin（参数aby2x2方程，其中为参数），焦点在y轴上时22＝1（ab0）。方程

abAx2By2C表示椭圆的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠

x2y2B）。如（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

3k2k11(3,)(,2)）；（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是

22____，x2y2的最小值是___（答：5,2）

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：22 =1，焦点在y轴上：22＝1

abab22（a0,b0）。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么（ABC≠0，且

x2y25A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆1有公共焦点，

942x2则该双曲线的方程_______（答：y21）；（2）设中心在坐标原点O，焦点

4F1、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点P(4,10)，则C的方程为_______（答：x2y26）

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（3）抛物线：开口向右时y22px(p0)，开口向左时y22px(p0)，开口向上时x22py(p0)，开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知

x2y2方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：

m12m3(,1)(1,)）

2（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2b2c2，在双曲线中，c最大，c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①范围：

abaxa,byb；②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为

ca22a，短轴长为2b；④准线：两条准线x； ⑤离心率：e，椭圆

acx2y20e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆15m2510的离心率e，则m的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两

35焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y2（2）双曲线（以221（a0,b0）为例）：①范围：xa或

abxa,yR；②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

2cax2y2k,k0；④准线：两条准线x； ⑤离心率：e，双曲线

ace1，等轴双曲线e2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两

b条渐近线：yx。如（1）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离

a1313心率等于______（答：或）；（2）双曲线ax2by21的离心率为5，231x2y2则a:b= （答：4或）；（3）设双曲线2214ab- 3 -

（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

（答：[,]）；

32（3）抛物线（以y22px(p0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点：

p一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对

2p称轴y0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x；

2c⑤离心率：e，抛物线e1。如设a0,aR，则抛物线y4ax2的焦点坐

a标为________（答：(0,1)）； 16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆221（ab0）的关系：（1）点P(x0,y0)在

ab2222x0y0x0y0椭圆外221；（2）点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；（3）点

abab22x0y0P(x0,y0)在椭圆内221

ab6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6

15的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）；（2）3x2y21恒有公共点，则m的取值范围是_______直线y―kx―1=0与椭圆5mx2y21的右焦点直线交双曲（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交

x2y2点；（2）过双曲线22＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点

ab的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近

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线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，

x2y2这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个

916445公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：,）；（3）过双曲线

33y22x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直

2线l有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：y24x，我们称满足y024x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：

y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线

y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是

x2y211p、q，则_______（答：1）；（6）设双曲线1的右焦点为

169pqF，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于P,Q,R，则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）

813）；13（8）直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点（答：

求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离（答：①3,3；②a1）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示P到与F

x2y2所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离

251635）；（2）已知抛物线方程为3y28x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____

x2y2（答：7,(2,4)）；（4）点P在椭圆1上，它到左焦点的距离是它到右

25925焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线y22x12上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______

为3，则点P到右准线的距离为____（答：

x2y2（答：2）；（6）椭圆1内有一点P(1,1)，F为右焦点，在椭圆上有一

4326点M，使MP2MF 之值最小，则点M的坐标为_______（答：(,1)）；

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8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两

x2y2焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点F1PF2的面积为S，则在椭圆221中，

ab2b2①＝arccos(1)，且当r1r2即P为短轴端点时，最大为max＝

r1r2b2c22Sbtanc|y0|，当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最arccos；②

2a22b2x2y2大值为bc；对于双曲线221的焦点三角形有：①arccos1rr；ab1212r1r2sinb2cot。如（1）短轴长为5，离心率e的椭圆的两焦点223为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，

②S若PF2F1F20，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2y24）；

x2y2→ ·PF→ <01的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆21943535时，点P的横坐标的取值范围是 （答：(,)）；（4）双曲线的

556虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的

2左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________

（答：82）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F2123．求该双曲线的标准方程（答：

x2y21）； 4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，

反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别

为A、B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则

AB＝11y1y2，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝k21k2y1y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不

用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线y22x焦点的

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直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差

x2y2法”求解。在椭圆221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－

abb2x0x2y2；在双曲线221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率2abay0b2x0k=2；在抛物线y22px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率ay0x2y2p1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的k=。如（1）如果椭圆369y0直线方程是 （答：x2y80）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆

x2y221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=02ab2上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；（3）试确定m的取值范围，使

2x2y2得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称（答：

4321321313,13）； 特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

12．你了解下列结论吗

2222（1）双曲线xy1的渐近线方程为xy0；

a2b2a2b222b（2）以yx为渐近线（即与双曲线xy1共渐近线）的双曲线方程为

aa2b2x2y2x2y21有共同的渐近线，且过点(3,22(为参数，≠0）。如与双曲线2916ab3)4x2y21） 的双曲线方程为_______（答：94（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1；

222b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相

ab2应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2p2,y1y2p2 ①|AB|x1x2p；②x1x242（7）若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

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13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0；如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：y212(x4)(3x4)或

y24x(0x3)）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：y22x）；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：

x2y24）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y216x）；(3) 一动圆与两圆⊙M：x2y21和⊙N：

（答：双曲线的一支）； x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为 ④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的

轨迹方程；如动点P是抛物线y2x21上任一点，定点为A(0,1),点M分PA所成的比

1为2，则M的轨迹方程为__________（答：y6x2）；

3⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP||MN|，求点P的轨迹。（答：xya|y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆xy1上运动，则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____（答：

22221y22x1(|x|)）；（3）过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则

22弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：x2y2）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆x2y221(ab0)的左、右焦点分别是F1（－c，2ab0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，

并且满足PTTF20,|TF2|0.（1）设x为点P的横坐

c标，证明|F1P|ax；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨

a迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；

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b2若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）xya；（3）当a时不

cb2存在；当a时存在，此时∠F1MF2＝2）

c②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

222④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实数

,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出OPOAOB，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即

1APPB

（7） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角,

MAMB（8）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线。

MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

222（13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC中，给出OPOA(过ABC的内心；

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ABAC)(R)等于已知AP通|AB||AC|（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1（16） 在ABC中，给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边

2的中线;

- 10 -