一．选择题
1．设x为有理数，若|x|＝x，则（ ） A．x为正数
B．x为负数
C．x为非正数
D．x为非负数
2．计算t3÷t2的结果是（ ） A．t2
B．t
C．t3
D．t5
3．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（ ） A．点A在圆外
B．点A在圆内
C．点A在圆上
D．不确定
1
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=−3，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
6．下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．“等腰三角形的一个角是80度，则它的顶角是80度”是必然事件 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是有理数，|a|≥0”是不可能事件
7．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A．y＝﹣（x+3）2
B．y＝﹣（x﹣3）2
C．y＝﹣x2+3
D．y＝﹣x2﹣3
8．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）
1 / 18
A．F
B．G
C．H
D．K
9．受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（ ）
A．52.5元
B．45元
C．42元
D．37.8元
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2√3，2√3），点P在直线y＝﹣x上运动，∠PAB＝90°，∠APB＝30°，在点P运动的过程中OB的最小值为（ ）
A．3.5 二．填空题
11．分解因式：a3﹣a＝ ．
12．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则a＝ ．
32
B．2 C．√2 D．2√2 13．反比例函数y=x的图象经过点（2，3），则k＝ ．
14．边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ．
2 / 18
1−k
15．如图，△DEF为等边三角形，点D、E、F分别为边AB、BC、AC上一点，且∠C＝60°，AE＝7，则AC的长为 ．
ADBD
=，5
3
16．小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=−x2的性质时，将一个直角
2三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），对该抛物线，小甬将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A，B的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是 ．
1
三．解答题
17．计算：（）2﹣（π﹣3.14）0+√20−|2−√5|．
﹣
12
18．已知=
2a
b3
=
c5
≠0，求
2a−3b+4c5a+3b−2c
的值．
3 / 18
5x+5≥3x−2
19．解一元一次不等式组{，并写出它的整数解．
1−2x＞3x
20．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 ，圆心角度数是 度； （2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）， （1）在正方形网格中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1． （2）求出线段OA旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
4 / 18
22．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD． （1）若AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；
（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．
23．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）． （1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
24．已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3＝0．
（1）无论k取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论；
（2）抛物线y＝kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k也为正整数．若P（a，
5 / 18
y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．
25．问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证： △APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝ °
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝ ． 拓展延伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：设x为有理数，若|x|＝x，则x≥0，即x为非负数． 故选：D．
2．【解答】解：t3÷t2＝t． 故选：B．
3．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B．
4．【解答】解：∵OA＜R， ∴点A在圆内， 故选：B．
5．【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0， 故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x=−3，即−2a=−3，即2a＝3b，也就是a=2b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，
23
1
b
1
3
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1） 当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2） （1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0， 又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0， 因此③正确， 故选：A．
6．【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，说法错误，不符合题意； B、等腰三角形的一个角是80度，则它的顶角是80度”是随机事件，说法错误，不符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
7 / 18
D、“a是有理数，|a|≥0”是必然事件，说法错误，不符合题意， 故选：C．
7．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣3）2； 故选：B．
8．【解答】解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2 ∴DE：AB＝DM：AC ∴DM＝3 ∴M应是H 故选：C．
15k+b=279．【解答】解：设直线AB解析式为y＝kx+b，把（15，27）（20，39.5）代入得：{，
20k+b=39.5k=2.5
解之得：{即y＝2.5x﹣10.5，当x＝21时，y＝42．
b=−10.5故选：C．
10．【解答】解：如图，作BH⊥OP于H，取PB的中点F，连接AF、FH、OA、AH．
在Rt△PAB和Rt△PBH中，∵PF＝FB， ∴AF＝PF＝FB＝FH， ∴A、P、H、B四点共圆，
∴∠AHB＝∠APB＝30°，∠AHP＝60°， ∴点B在射线HB上运动，
∴当OB⊥BH时，OB的值最小，最小值为OH的长， 在Rt△AOH中，A（2√3，2√3） ∴OA＝2√6，∠AHO＝60°，
8 / 18
∴OH＝2√2，
∴OB的最小值为2√2． 故选：D． 二．填空题
11．【解答】解：a3﹣a， ＝a（a2﹣1）， ＝a（a+1）（a﹣1）． 故答案为：a（a+1）（a﹣1）． 12．【解答】解：根据题意，得：解得a＝8，
经检验：a＝8是分式方程的解， 故答案为：8．
13．【解答】解：因为反比例函数y=x的图象经过点（2，3）， 所以可得：
1−k2
1−kaa+4
=，
3
2
=3，
解得：k＝﹣5， 故答案为：﹣5
14．【解答】解：如图所示：
∵正方形ABCD的边长为2， 正方形AEFM的边长为1， ∴AB＝AD＝2，EF＝AM＝1， 又∵EB＝EA+AB， ∴EB＝3 又∵AN∥EF， ∴△ABN∽△EBF，
9 / 18
∴
ABEB
=
ANEF
，
∴AN=
AB22⋅EF=×1=EB33
，
又∵AM＝AN+MN， ∴MN=3，
S△FMN=2⋅FM⋅MN =2×1×3 =； 故答案为．
61
161
111
15．【解答】解：以CE为边作等边△CEH，连接DH，
CE=EH
∵{∠DEH=∠CEF DE=EF
∴△CEF≌△DEH（SAS）， ∴∠DHE＝∠ECF＝60°， ∴DH∥BC， ∴∵∴
ADBDADBDAHCH
=
AHCH35
，
=， =，
53
设AH＝3x，CH＝5x， 过点E作EM⊥AC于点M，
在△AEM中，72=(2x)2+(2x)2， ∴x＝1，
10 / 18
5√311
∴AC＝8． 故答案为：8．
16．【解答】解：如图，作垂线AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F． 设A（﹣m，−m2）（m＞0），B（n，−n2）（n＞0）， −mk+b=−2m2
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则{1
nk+b=−2n2
12121
1212①， ②
①×n+②×m得，（m+n）b=−（m2n+mn2）=−mn（m+n）， ∴b=−mn． ∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠OBF（同角的余角相等）， 又∵∠AEO＝∠OFB＝90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴∴
AEOFn1
2=
OEBF
，
m0.5n20.5m2
=，
∴mn＝4，
∴b=−2×4＝﹣2．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）． 故答案是：（0，﹣2）．
1
三．解答题
17．【解答】解：原式＝4﹣1+2√5−√5+2=√5+5．
11 / 18
18．【解答】解：设=
2
ab3
=
c5
=k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， =．
35
则
2a−3b+4c5a+3b−2c
=
4k−9k+20k10k+9k−10k
19．【解答】解：{
5x+5≥3x−2①
1−2x＞3x②
7
解不等式①，得x≥−2； 解不等式②，得x＜，
∴不等式组的解集为−2≤x＜5，
则不等式组的整数解是﹣3，﹣2，﹣1，0．
20．【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%， 则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°， 故答案为：35%，126；
（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人）， 补全图形如下：
7
1
1
5；
（3）根据题意得：2100×100=1344（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人． 21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
12 / 18
32+32
90⋅π⋅39
（2）线段OA旋转过程中所扫过的面积=360=4π．
2
22．【解答】（1）证明：∵AC＝BC， ̂=BĈ， ∴AC
∵AB平分∠CBD， ∴∠ABC＝∠ABD， ̂=AD̂， ∴AĈ=CD̂， ∴AB∴AB＝CD；
（2）解：连接OA、OB、OC，OC交AB于H，如图， ̂=BĈ， ∵AC
∴∠ADC＝∠BDC=2∠ADB＝30°，OC⊥AB，AH＝BH， ∴∠BOC＝60°，
∴OH=OB=，BH=√3OH=∴AB＝2BH=√3，
∵四边形ACBD的面积＝S△ABC+S△ABD，
∴当D点到AB的距离最大时，S△ABD的面积最大，四边形ACBD的面积最大，此时D点为优弧AB的中点，
即CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大， ∴四边形ACBD的面积最大值为•√3×2=√3．
21
1212√31
2，
13 / 18
23．【解答】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000， ∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000， 当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000， 综上所述：w={
−100x−100x
22
+5500x−27000(6≤x≤10)
；
+5600x−32000(10＜x≤30)
55
（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x−2）2+48625， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x=2，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元， 当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28， ∴当x＝28时，w有最大值为46400元， ∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元； （3）∵40000＞18000， ∴10＜x≤30，
∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，
当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000， ∴x1＝20，x2＝36，
∴当20≤x≤36时，w≥40000， 又∵10＜x≤30， ∴20≤x≤30，
此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a， ∴对称轴为直线x=−2×(−100)=28+2a，
14 / 18
5600+100a
1
55
∵a＜4， ∴28+a＜30，
∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元
∴（28+2a﹣6﹣a）[﹣100×（28+2a）+5000]﹣2000＝42100， ∴a1＝2，a2＝86， ∵a＜4， ∴a＝2．
24．【解答】解：（1）有，理由：
当k＝0时，方程为：x+3＝0，解得：x＝﹣3，方程有实数根； 当k≠0时，△＝（3k+1）2﹣12k＝（3k﹣1）2≥0，故方程有实数根； 综上，无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）令y＝0，则kx2+（3k+1）x+3＝0，解得：x＝﹣3或−k， 图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k也为正整数，故k＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2+4x+3，
Q（1，y2）是此抛物线上的点，即为点B（1，8），
1
1
1
1
212
当y＝8时，x＝﹣5或1， y1＜y2，则﹣5＜a＜1．
25．【解答】解：简单应用：（1）如图2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将
△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，
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∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2， ∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°， 根据勾股定理得，PP'=√2CP＝4， ∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'， ∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形， ∴∠BPP'＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°， 故答案为：135；
（2）如图3，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'， ∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°， ∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°， 根据勾股定理得，BP'=√BP2+PP′2=13， ∴CP＝13， 故答案为：13；
拓展延伸：①如图4，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， 将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'， ∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCD'＝180°，
16 / 18
∴点D'在DC的延长线上， ∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD， 在Rt△DBD'中，DD'=√2BD， ∴√2BD＝CD+AD；
②如图5，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， 将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，
∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'， AB与CD的交点记作G， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°， ∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BAD'， ∴点D'在AD的延长线上， ∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2， 在Rt△BDD'中，BD=
√22DD'=√2．
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