浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

高等数学研究　Ｖ０１．１３。Ｎｏ．１　１Ｏ６　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｊａｎ．，２０１０　浅析基矩阵在线性代数教学中的应用　刘东　（湖州师范学院数学系，浙江湖州，３１３０００）　摘　要　主要研究基矩阵在线性代数教学中的应用．具体讨论基矩阵在矩阵乘法运算的几何意义、乘法运算　律、线性空间等方面的教学中的应用．旨在提高线性代数的教学质量．　关键词　基矩阵；矩阵运算ｌ线性空间．　中图分类号　Ｏ１５１．２　矩阵理论是线性代数的核心内容之一，也是高等　质和运算在后续的学习中，特别是在矩阵论、表示论、　数学后续学习的基础．因此，矩阵理论的学习是学生　李代数、量子群等学科的学习中起重要作用．即使它　学好线性代数的关键．而在矩阵理论的教学中，基矩　们在线性代数的学习中也起着较大的作用．　阵的有关应用往往被忽略．本文详细地谈谈基矩阵在　本文主要研究基矩阵的运算在矩阵乘法运算定　线性代数教学中的应用．　义、运算律、线性空间等方面的应用，而这些正是现在　所谓的基矩阵就是这样的一些矩阵，它们只有一　的各种高等代数教材与辅导书中普遍所欠缺的．　个元素为１，其余元素为零，这些矩阵记为Ｅ　．之所　１　在学习矩阵乘法时的应用　以称它们为基矩阵，是因为任何一矩阵都可以被这　１．１　解释矩阵乘法的几何意义　些基矩阵唯一地线性表出．事实上，基矩阵的有关性　矩阵乘法的法则一直是学生难以理解的，所以在　教学过程中往往是以直接灌输为主．有些论文也讨论　收稿日期：２００８一Ｏ５—１６＃修改日期：２００８—１０—１６．　了矩阵乘法的一些几何意义，但都是从变换的合成的　基金项目：浙江省自然科学基金（Ｙ６０７１３６），浙江省钱江人才计划　（０７Ｒ１００３１），浙江省新世纪教改项目（　０７１０９，　０９０６３）　角度来说明矩阵乘法（本质上是矩阵乘法与线性变换　和湖州师范学院教改重点项目（２００８ＪＹ００６）．　乘法的对应关系，见［１，２］）．如果在教学中结合基矩　作者简介：刘东（１９６８－－），男，江苏盐城人，博士，湖州师范学院副教　阵的乘法法则，来解释矩阵乘法的几何意义，则学生　授，研究方向为代数学．Ｅ—ｍａｉｌｌｌｉｕｄｏｎｇ（￣ｈｕｔｃ，ｚｊ．ｃｎ　更容易理解．　ｏ●・Ｃ＇●・Ｃ・●ｏ●ｏ●　Ｃ　‘　●．００‘争●‘＝　●ｏ●ｏ●ｏ●　ｏ●・０　●ｏ●・　●ｏ●ｏ●ｏ●・０・●ｏ●ｏ●　超越数论中还有一大批未决问题，虽然数学家们　式的语言［Ｍ］．商务印书馆，２００８：２６—２７．　发展的方法越来越精巧，但要提出一些崭新的思想却　［５１陈仁政．不可思议的ｅＥＭ］．北京：科学出版社，２００５：１０６—　绝非易事，因为这块田地已经被耕耘过无数遍了．希　１０８，２３７—２５４．　尔伯特在１９００年国际数学家大会的讲演中阐发了　［６１陈仁政．说不尽的［Ｍ］．北京ｔ科学出版社，２００５：３６～３８，　“相信每个数学问题都可以解决”的信念，他说：“在　１７４—１９４，２０２——２０４．　我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问　［７］Ｆｅｌｉｘ　Ｋｌｅｉｎ．初等几何的著名问题［Ｍ］．北京；高等教育出　版社，２００５：４５—４８，６Ｏ一６８．　题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在　［８１张贤科．古希腊名题与现代数学［Ｍ］．北京：科学出版社，　数学中没有不可知．”这对于数学爱好者无疑是一种　２００７：１８４．　巨大的鼓舞．数学的确是一片浩瀚的海洋，即使是在　［９］华罗庚．数论导引［Ｍ１．北京：科学出版社，１９５７：５３１—　对“数”的自身的研究领域中，也蕴含着这许许多多　５３３．　的未知之谜，等待着人们去探索其中的奥秘．　［１Ｏ］朱尧辰，徐广善。超越数弓ｌ论［Ｍ］．北京：科学出版社，　２００３：２３．　参考文献　［１１］胡作玄，赵斌．菲尔兹奖获得者传［Ｍ１．长沙：湖南科学技　［１］李文林．数学史概论［Ｍ］．北京ｔ高等教育出版社，２００２：　术出版社，１９８３：３５—３６，６４—６７．　２０１．　［１２１李心灿，高隆昌，邹建成，郑权．当代数学精英［Ｍ］．上海：　［２］胡作玄．引起纷争的金苹果——哲人科学家一康托尔　上海科学技术出版社，２００２；９２—９４．　［Ｍ］．福建教育出版社，１９９３：７８—８Ｏ．　［１３］胡作玄．菲尔兹奖与２Ｏ世纪数学（四）Ｄ１．科学，２００２年　［３］约翰・塔巴克著，张红梅、刘献军译．几何学——空问和形　第２期．　第１３卷第１期　刘东：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用　１Ｏ７　基矩阵的乘法公式如下：　Ｅ０Ｅ　＝　『＾Ｅ　．　就转化为“与任意基矩阵可换”的等价命题．　根据Ａ一　∑　Ｅ口与任意Ｅ“可换，有　ｌ≤Ｉ　≤＂－１≤　≤　若用图形表示（如图１），则Ｅ　表示第ｉ个顶点，而当　ｉ≠　时，　表示连接第ｉ与　顶点的有向箭头．如　即　∑　Ｅ　Ｅ　一　∑　Ｅ　Ｅ　，　１≤｛≤Ｈ・１≤ｊ≤ｎ　ｌ≤ｆ≤ｍ，ｌ≤　≤”　此，则上述乘法法则反映的就是图论中道路的乘法．　．二　１　２　＝：．＝警３　　－二　４　ｎ　１≤ｆ≤ｎ　∑口　Ｅ　＝∑口　Ｅ　，　ｌ≤ｊ≤”　图１　矩阵乘法图　从而，当ｉ≠　时，ａｄ一０且ａ　一ａ．ｏ．　因此，Ａ是一数量矩阵，即矩阵代数　（Ｆ）的中　应用以上法则也可以倒推出矩阵乘法法则．设　Ａ一（口　）　，　心为｛ｋＥ　ｌ忌∈Ｆ）．　Ｂ一（口＃），｜ｐ，　更进一步，在求矩阵代数的各种特殊子代数（见　则　下一节）的中心时，也需要借助这些基矩阵．　Ａ＝　∑　Ｅ＃，　３　刻画一些特殊矩阵构成的子空间　１≤｝≤ｍ・ｌ≤ｊ≤“　刻画线性空间主要是刻画它的基，而基矩阵在刻　Ｂ一　画各种矩阵生成的线性空间起着重要作用．如在数域　１≤Ｉ≤：∑　Ｅ＾　≤ｆ≤ｐ　ｆ，　从而　Ｐ上所有阶矩阵空间中，经常研究下列几种重要的　子空间（矩阵代数　（Ｆ）的子代数）：　．４１３一（　∑　Ｅ　）（　∑　Ｅ　）：　１≤　：，，，，１≤　≤”　ｌ≤艇；Ｈ，１≤Ｚ《户　（１）　所有　×　阶迹为零矩阵构成的子空间　∑　∑　Ｅ　Ｅ　一　它的一组基为　∑　∑　Ｅ　一　｛Ｅ～　，ｍ，１≤ｉ≤　一１，马１≤ｉ≠　≤ｎ），　ｌ≤ｆ≤ｍ，１≤』≤ｎ１≤＾≤ｎ－ｌ≤　≤　其维数为，ｌ。一１．　∑　（∑口＊ｂ　）Ｅｕ。　（２）　所有　ｘ，ｌ阶上三角矩阵构成的子空间　它的一组基为　此即矩阵乘法法则．设　｛　１≤ｉ≤　≤，１），　ＡＢ＝（　）埘ｐ，　其维数为ｎ（ｎ＋１）／２．　则　（３）　所有　×竹阶对称矩阵构成的子空间　ｃ　一∑口　ｂ　．　它的一组基为　如此可使学生更好地理解其意义．　（　，１≤ｉ≤，ｚ，Ｅ“４－Ｅｊ，１≤ｉ≠　≤，ｚ），　１．２　说明一些矩阵运算律　其维数为ｎ（ｎ＋１）／２．　矩阵乘法的运算律与普通的乘法有很大不同，学　（４）　所有　×ｎ阶反对称矩阵构成的子空间　生难以理解，如转用基矩阵来阐述则显得通俗易懂．　它的一组基为　例如从其矩阵的乘法公式很容易看出矩阵乘法交换　｛　一　，１≤ｉ≠Ｊ≤，１），　律不再成立，乘法有非零因子．尤其强调的是在验证　其维数为ｎ（ｎ一１）／２．　结合律时，如应用基矩阵则非常通俗易懂．因为任意　上述这些特殊子空间在后续学习中十分重要．　一个矩阵都是基矩阵的线性组合，所以只需对基矩阵　综上所述，基矩阵的性质与运算在线性代数的教　验证乘法满足结合律就可以了．而对于基矩阵，验证　学中起着重要作用，对学生建立线性空间的有关思想　是很容易的：　时起着决定作用．因此在教学中要特别注意强化基　（Ｅ　Ｅ　Ｅ　一８棒Ｅ　ａＥ　＝８ｉｋ８　Ｅ　，　矩阵的教学与应用．　Ｅｏ（Ｅ　Ｅ∞、）一８　Ｅ　Ｅ　＝８ｊｋ８　Ｅ　，　参考文献　或者从图１也容易直接看出．　２　求矩阵代数　（Ｆ）中心　［１］李长明．矩阵乘法的来源与意义［Ｊ］．贵阳：贵州教育学　求矩阵代数的中心问题是高等代数的一道典型　院，２００２，（Ｏ４）；１３～１５．　［２］刘学质．线性替换与矩阵乘法［Ｊ］．重庆；重庆教育学院　习题（见［３］），按照教材体系学生很难想到用基矩阵，　学报，２００５，（０３）。１１—１３．　如果我们在教学矩阵乘法之前介绍“任意一个矩阵都　［３］北京大学数学系几何与代数教研组．高等代数［Ｍ］．北　是基矩阵的线性组合”的思想，则“与任意矩阵可换”　京：高等教育出版社，１９８８．