2011年上学期拓扑学考试试卷答案(B)

2009--2010学年 二 学期 拓扑学 课程

48 学时，3.0学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %

时间:100分钟, 专业年级：数学与应用数学2008级

一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 二、简答题（每题4分，共20分） 1、A 1空间

答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间. 2、T0空间

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.

3、列紧空间

答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间. 4、同胚映射

答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:XY是一个一一映射，并且f和

f1:YX 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.

5、正则空间

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.

三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1T 2不一定是集合X的拓扑( ) 答案:×理由：因为(1)T 1,T 2是X的拓扑，故X,T 1，X,T 2，从而(2)对任意的A,BT 1T 2，则有A,BT 1且A,BT 2，由于T 1,T 2X,T 1T 2；

是X的拓扑，故ABT 1且ABT 2，从而ABT 1T 2；

(3)对任意的TT 1T 2，则TT 1,TT 2，由于T 1,T 2是X的拓扑，从而

UATAT1, UATAT2,故UATAT1T2； 综上有T 1T 2也是X的拓扑．

2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

答案:√ 理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:XY是连续映射，因

1为对任意AY，都有f（A)X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而

f1(A)是中的开集，所以f:XY是连续的. 3、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则Ad （ ）

答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有pAp，即pdA,从而 d(A).

4、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )

答案：√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令

BAc，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足ABX，易见A,B是隔离

子集，所以拓扑空间X是一个不连通空间. 四、证明题（共40分）

1、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一. (10分) 证明：若极限点不唯一，不妨设limxiy1,limxiy2,其中y1y2，由于X是T2空

ii间，故y1和y2各自的开邻域U,V，使得UV.

因limxiy1，故存在N10，使得当iN1时，同理存在N20，使得当iN2xiU；

i时，xiV.令Nmax{N1,N2},则当iN时，xiUV，从而UV,矛盾，故{xi}的极限点唯一.

2、设(X,T)为拓扑空间，证明X是T1空间的充分必要条件是X的每一独点集都为闭集.(10分)

s.t.xV，,)T为T1空间，证明：（必要性）设xX，由(X故有y的开领域V，y{x}c，

所以V{x}c，所以{x}c为开集，从而{x}为闭集。

（充分性）设x,yX,xy，由条件知{x},{y}为闭集，故U{y}cUx，

txV,yU，所以(X,T)为T1空间。 V{x}cUy，s..

3、设X,Y是两个拓扑空间，f:XY是一个连续映射.如果X是一个紧致空间，证明f(X)是Y的一个紧致子集.(10分)

证明：设A是f(X)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意CA，f1(C)是X中的一个开集，由于cACX,从而有：

CAf1(C)f1(C)f1(f(X))X

CA所以A1={f1(C)|CA}是X的开覆盖.由于X是紧致空间，所以A1 有一个有限子覆盖，设为{f1(C1),,f1(Cn)}.

因为f1(C1)f1(Cn)f1(C1Cn)X，从而C1Cnf(X)，即

是A的一个子族并且覆盖f(X)，因此f(X)是Y的一个紧致子集. {C1,,Cn}

4、 设X为非空集合，令

T余有限A|AXC,其中C为有限集为

试证：(1) X,T余有限是一个拓扑空间；(5分)

(2) 若X为无限集，X,T余有限是连通空间；(5分)

(3)X,T余有限是紧致空间。(5分) 证明：(1)

10由T余有限定义，T余有限.此外，XXT余有限.20设A1，A2T余有限，1A1或A2，则A1A2T余有限2A1，A2，则A1XC1,A2XC2,其中C1，C2为有限集.根据deMorgan公式，有A1A2XC1XC2XC1C2T余有限30设AT余有限,,不失一般性，令AXC,其中C为有限集，则AXCAXCT余有限由102030可知，T余有限为X上的一个拓扑。(2) 注意XC1XC2XC1C2；

(3) 对任意p,qX,pq，则Up＝X－q与UqXp分别为p与q的开邻域，且qUp，pUq，因此，X,T余有限为T1空间。

设Up为p的任何开邻域，则Up＝X－C1,UqXC2，其中C1，Uq为q的任何开邻域，

C2均为X的有限子集，并且UpUqXC1XC2XC1C2 所以，X,T余有限非T2空间。

（4）设A是X的任一个开覆盖，任取A0A，则A0XC（C为X的有限集），再记C{x1,...,xn}，由A是X的开覆盖，故AiA, s..t xiAi,i1,...,n于是

A1{Ai|i0,1,...,n}是X的有限子覆盖，X,T余有限是紧致空间.