量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案-第三章

2x2i3.1 一维谐振子处在基态(x)22te，求：

(1)势能的平均值U12x22； (2)动能的平均值Tp2 2；

(3)动量的几率分布函数。 解：(1) U12x21222x2e2x2dx

11111222222222224 1ax24 0x2nedx135(2n1)2n1ana (2) Tp21*22(x)pˆ2(x)dx 1 122x2d21222e(2dx2)e2xdx

22222(12x2)exdx

22[e2x2dx2x2e2x22dx] 222[223]

22 222224414 或 TEU111244

1

(3)c(p,t)*(x)dx p(x)22 12t2xii2 eepxdx

112t2 e2x2ipxi2edxe

1212ipp22(x2)2222dxei2t e

12p1222(x222)2e2ip edxei2t

12p22222tp2222i2eei1ee2t 动量几率分布函数为 p2 (p)c(p,t)2122e

3.2.氢原子处在基态(r,,)1/a0a3er，求：

0 (1)r的平均值；

e2 (2)势能r的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。 解：(1) rr(r,,)2d122r/a0a3r2sin drd d0000re 4a3dr

03a2r/a00r0xneaxdxn!an1 43!a343a0 022a0 2

e2e2(2)U()3ra0e23a0

002012r/a02ersin drd dr0020e2r/a0rsin drd d

4e23a00e2r/a0r dr4e21e232a02a0a0 (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 (r)dr (r)020[(r,,)]2r2sin drd d42r/a02erdr 3a042r/a02er 3a0

d(r)423(2r)re2r/a0 dra0a0 令

d(r)0，  r10, r2, r3a0 dr 当 r10, r2时，(r)0为几率最小位置

d2(r)48422r/a0 (2rr)e32a0dr2a0a0d2(r)

dr2ra082e0 3a0 ∴ ra0是最可几半径。

12221ˆˆp  (4)T 2  2r22211)(sin)(rrsinsin22r221r/a02r/a02 Te(e)rsin drd d 32000a0221r/a01d2dr/a02e[r(e)]rsin drd d 320002dra0rdr 3

421 (3a02a00r2r/a0(2r)e dr

a022a0a0422  (2)42442a02a0(r) (5) c(p)*(r,,)d p1 c(p)(2)3/210a30er/a0rdre02iprcossin dd

02 2(2)3/2a300re2r/a0dre0iprcos d(cos)

2(2)3/2a300r2er/a0dreipriiprcos0i

 2(2)3/22(2)3/2prr/a0prre(ee)dr 3ip0a00xneaxdxn! n1a 11[] 3ip1i1ia0(p)2(p)2a0a0 4ip 2332a0ipa(1p)202a024303244a02222aa0(a0p)1 

(2a0)3/2(a0p)2222

动量的概率分布函数

358a0 (p)c(p)2 224(a0p)2L23.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H，L为角动量，

2I求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

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解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则转子只有角方向的运动自由度，且只有z方向的角动量，即 L2L2Z

L2 则经典哈密顿量为 HZ

2I221d2ˆˆ 哈密顿算符 H LZ22I2Idˆ与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H

d2()E()2Id2 d()2IE()22d22

2IEd2()2 令m2，则 m()0 2d2 取其解为 ()Aeim (m实数，可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有

(2)()eim(2)eim 即 ei2m1 ∴m= 0，±1，±2，…

m22转子的定态能量为Em (m= 0，±1，±2，…)

2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。除m=0外，能级是二重简并的。 定态波函数为 mAeim A为归一化常数，由归一化条件

1dA02*mm220dA22

A121ime 2∴ 转子的归一化波函数为 m(2)取固定点为坐标原点，则转子可以向任意方向(,)旋转，哈密顿算符为

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Hˆ12ILˆ2 其本征方程为

12ILˆ2Y(,)EY(,) (式中Y(,)设为Hˆ的本征函数，E为其本征值) Lˆ2Y(,)2IEY(,) 令 2IE2，则有

Lˆ2Y(,)2Y(,) 此即为角动量Lˆ2的本征方程，其本征值为 L22(1)2 (0, 1, 2, )

其波函数为球谐函数Ymm(,)NmP(cos)eim (m= 0，± 转子的定态能量为 E(1)2∴2I 能量是分立的，且是(21)重简并的。 #

3.7 一维运动粒子的状态是

Axex (x), 当x0 0, 当x0

其中0，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 12222(x)dxAx10xedx43A2

∴A23/2

23/2xex∴(x), 当x0 0, 当x0

 1，±2，…，±l)

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∴c(p)111/2eikx(x)dx()23/2xe(ik)xdx

0220x)[e(ik)x (ik1/2231ik0e(ik)xdx]

(23)1/21231/21(ik)xe|() 02p(ik)(i)2 ∴动量几率分布函数为

23 (p)c(p)21p22(2)22331 偶函数 2222(p) (2) pˆ(x)dxi43xex(x)p*dx(e)dx dx i43x(1x)e2xdxi43(xx2)e2xdx

 i43( 0 （或者）142142)

ˆ(p)dpp(p)dp（被积函数）奇函数 (p)p*3.9.设氢原子处于状态 (r,,)13R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,) 22求氢原子能量、角动量平方，及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几

率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，波函数为哈密顿算符的本征函数，氢原子能量有确定值，为 E2es222n2es282 (n2)

ˆ2算符的本征函数，角动量的平方有确定值为 波函数为L L2(1)222 (1)

ˆ的不同本征函数叠加，角动量Z分量的可能值为 波函数为Lz LZ10，LZ2

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其相应的几率分别为 14， 34 其平均值为 LZ1403434 3.6 设t=0时，粒子的状态为

(x)A[sin2kx12coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：(x)A[sin2kx1112coskx]A[2(1cos2kx)2coskx]

A2[1cos2kxcoskx] A2[11i2kxei2kx)1(eikxeikx2(e2)] A2i0x1i2kx1i2kx12[eikx1ikx12e2e2e2e]2 可见，动量pn的可能值为0 2k 2k k k 动能p22n2k22k22k22k222的可能值为0   2 2 对应的几率 (A2A2A2A2A2n应为 4 16 16 16 16)2 = (12 18 18 18 18)A2上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

1A2n(4A2)2A22 n4162 ∴ A1/ ∴ 动量p的平均值为

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ppnn

nA2A2A2A202k22k2k2k20

16161616 Tp2p22n2k222n012k212 n28285k228

3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(x)2(p)2? 解： p0 p22 T54k22 x1A2x[sin2kx2coskx]2dx0

x2A2x2[sin2kx1coskx]22dx

(x)2(p)2(x2x2)(p2p2)

#

3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。

解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为

rR

由测不准关系

(r)2(p)22 4

(p)22得4R2

对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符p为奇宇称，所以

p*(r)pˆ(r)d3r0 被积函数为奇函数。 又有 (p)2p2p2

2所以 p2(p)24R2 可近似取 p22R2

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EP22e2能量平均值为 sr

e22作为数量级估算可近似取 sresR E2e2则有 s2R2R

基态能量应取E的极小值，由

E2Re2sR3R20得 R2e2

s代入E，得到基态能量为 Ee4smin22

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