直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离
知识点一：直角三角形的判定
1、直角三角形全等的判定条件——HL
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2、直角三角形全等的判定方法的综合运用.
判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA、AAS，HL. 3、判定条件的选择技巧
（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.
（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等. （3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：
①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS； ②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS. 例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.
分析：
本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具. 解：
由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.
例2、如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BE=CF.
解：
（垂直的定义）
在△AED和△AFD中， （角平分线的定义）
（公共边）
所以△AED≌△AFD（AAS）.
所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.
（已知） 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
（已证）
所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）.
所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.
例3、如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.
分析：
要证CF=DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可. 证明：
连结AC、AD.在△ABC和△AED中，
所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）. 因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.
（已证） 在Rt△ACF和Rt△ADF中，
（公共边）
所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.
所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.
例4、已知在△ABC与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.
分析：
分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：
情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.
因为CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高. 所以∠ADC=∠A′D′C′=90°. 在△ADC和△A′D′C′中
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′. 在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.
显然△ABC与△A′B′C′不全等.
情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.
由CD、C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°， 在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′ ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′. ∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′.
例5、阅读下题及证明过程：
如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE. 证明：在△ABE和△ACE中
∴△ABE≌△ACE 第一步 ∴∠ABE=∠ACE 第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.
分析：
用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.
解：
上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下： 过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示 则∠BGE=∠CHE=90° 在△AGE与△AHE中
∴△AGE≌△AHE ∴EG=EH
在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH， BE=CE.
∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.
例6、已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？
（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
（已知） 在Rt△BDF和Rt△ADC中，
（已知）
所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.
所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）. 因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
所以∠BEC=90°.
所以BE⊥AC（垂直定义）；
（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC， 所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）. 所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°. 所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
（已证） 在△BFD与△ACD中， （已证）
（已知）
所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）. 知识二：利用三角形全等测距离
通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．
在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．
例1、如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
答案：
要测量A、B间的距离，可用如下方法：
（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图甲）
（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使A、•C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE＝BA．即DE的长就是A、B间的距离．（•如图乙）
例2、如图、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．
分析：
本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离．
方案：
如图，在点B所在的河岸上取点C，连接BC并延长到D，使CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A、C、E三点在同一直线上．测量出DE的长，就是AB的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE．
知识点三：尺规作图
1、用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件. 2、尺规作图的几何语言
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连接两点××；或连接××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； ④在××上截取××＝××；
⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×． 3、用尺规作图具有以下三个步骤
①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； ②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.
例1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知： ∠α，∠β，线段c(如图)．
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c． 请按照给出的作法作出相应的图形．
例2、如图，已知线段a，b，c，满足a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.
错误作法：(1)作线段AB＝c； （2）作线段BC＝a；
（3）连接AC，则△ABC就是所求作的三角形(如图).
分析：
本题第2步作线段BC＝a，在哪个方向作，∠CBA的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证AC的长一定等于b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．
正确作法：
（1）作射线CE；
（2）在射线CE上截取CB＝a；
（3）分别以C，B为圆心，b，c长为半径画弧，两弧交于点A．连接AC、AB，则△ABC为所求作的三角形(如图)．
例3、已知两边和其中一边上的中线，求作三角形． 已知线段a、b 和 m．
求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.
分析：
如果BC已作出，则只要确定顶点A．由于AD是中线，则D为BC的中点，A在以D为圆心，m为半径的圆上，又AC＝b，点A也在以C为圆心b为半径的圆上，因此点A是这两个轨迹的交点．
作法：
1、作线段BC＝a．
2、分别以B、C为圆心，大于 长为半径画弧，在BC两侧各交于一点M、N，连接M、N交BC于点D． 3、分别以D为圆心，m长为半径作弧，以C为圆心，b长为半径作弧，两弧交于点A． 4、分别连接AB、AC．
则△ABC就是所求作的三角形． 思考：
假定△ABC已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝ 的关系，可求得顶点B的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．
达标测试：
1、如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.
证明：
∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠B=∠C=90°
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠1=∠2
∴AD平分∠BAC.
2、如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.
证明：
（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD ∴∠ABD=∠ACD=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴∠1=∠2
在△ABE和△ACE中
∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴BE=CE 即CE=BE
（2）∵△ABE≌△ACE ∴∠3=∠4
又∵∠3＋∠4=180° ∴∠3=90° ∴CB⊥AD
3、如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.
解： 能. 作法：（1）在OA，OB上分别截取OM=ON
（2）过M作MC⊥OA，过N作ND⊥OB，MC交ND于P （3）作射线OP
则OP为∠AOB的平分线 证明：∵MC⊥OA、ND⊥OB ∴∠1=∠2=90°
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL） ∴∠3=∠4
∴OP平分∠AOB.
4、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？
解：能. 理由如下：
∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在Rt△ABC和Rt△ADE中
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）
∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC和△ANE中
∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN.
5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE=BF，AD=BC，则 （1）△ADF和△BEC全等吗？为什么？ （2）CM与DN相等吗？为什么？
解：
（1）△ADF≌△BCE，理由如下： ∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在Rt△ADF和Rt△BCE中
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME和△BNF中
∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND.
6、如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α，•根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．
（1）如图甲所示，作∠MCN＝________；
（2）如图乙所示，在射线CM上截取BC＝________，在射线CN上截取AC＝________． （3）如图丙所示，连接AB，△ABC就是_________．
答案：∠α，a，b，所求作的三角形.
7、已知线段a及锐角α，求作：三角形ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α，BC＝A．
作法：（1）作∠MCN＝90°；
（2）以C为圆心，a为半径，在CM上截取CB＝a；
（3）以B为顶点，BC为一边作∠ABC＝∠α，交CN于点A．
连接AB，则△ABC即为所求作的三角形．
8、你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°．
（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？
（2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？
解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°，
∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°； （2）AA′＝BB′，
如图所示，连接AA′、BB′，
∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，
∴AA′＝BB′．
9、有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图.
（2）说明DE＝AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图．
（2）因为在△ABC和△DEC中， ,
所以△ABC≌△DEC.
所以DE＝AB.
10、如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
解：（1）所画示意图如下：
（2）在△ABC和△DEC中，
∠D＝∠A，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB， 所以△ABC≌△DEC， 所以AB＝DE，
又因为小刚共走了100步，其中AD走了40步， 所以走完DE用了60步，
因为一步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米． 答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．
课后作业：
1、下列结论中错误的是（ ）
A．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．有一条直角边和斜边上的高对应相等的两直角三角形全等
2、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠A=∠B′，AB=A′B′，下列结论正确的是（ ） A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠B=∠B′
3、如图，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5、如图，已知∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（ ）
①AD=BC ②∠DBC=∠CAD ③AO=BO ④AB∥CD ⑤△DOC为等腰三角形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′，已知∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，若要判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，还可以补充的一个条件是（ ）
①∠B=∠B′ ②AB=A′B′ ③BC=B′C′ ④AC=A′C′ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
7、如图，从下列四个条件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，则在下列条件中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是（ ）
①∠B=∠C ②AB∥CD ③BE=CF ④AF=DE A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
9、如图，AB∥CD，AC∥BD，AD、BC相交于点O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形共（ ）对
A．5 B．6 C．7 D．8
10、考查下列命题
（1）两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （2）两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （3）两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等. （4）两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等. 其中正确命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 CCDCD BBDCB
11. 如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③，①③②，②③①．
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答)； (2)请证明你认为正确的例题．
解析：
(1)①②③，正确；①③②，错误；②③①，正确． (2)先证①②③．如图1，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，而AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴DE=DF．∠ADE=∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，因此∠DGE=∠DGF， 进而有∠DGE=∠DGF=90°，故AD⊥EF．
再证②③①（用后面学习的圆的知识证明）． 如图2，取AD的中点O，连结OE、OF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线，
即点O到A、E、D、F的距离相等，因此四点A、E、D、F在以O为圆心， AD为半径
，故∠DAE=∠DAF,即AD平分∠BAC.
的圆上，AD是直径．于是EF是⊙O的弦，而EF⊥AD,
∴AD平分
，即
12.下列判断中错误的是( )
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 答案：B
解析：有两边和一角对应相等包括两类：边角边和边边角，而边边角不能判定两个三角形全等．
作业二
1、根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ） A．用尺规作一条线段等于已知线段 B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角 D．不能确定
2、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
3、如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
4、已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ） A．作一个角等于已知角
B．作一个角使它等于已知角的一半 C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线
5、已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，作法合理的顺序依次为（ ）．
①延长CD到B，使BD＝CD；②连接AB；③作△ADC，使DC＝ a，AC＝b，AD＝m．
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
6、要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 CDACAB
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