直线系、圆系方程

1、过定点直线系方程在解题中的应用

过定点（x0，y0）的直线系方程：A(xx0)B(yy0)0（A,B不同时为0）. 例 1 求过点P(1，4)圆(x2)(y3)1的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

解析：设所求直线的方程为A(x1)B(y4)0（其中A， ，B不全为零） 则整理有AxByA4B0，

22 ∵直线l与圆相切，∴圆心C(2，3)到直线l的距离等于半径1，故2A3BA4BAB221，

整理，得A(4A3B)0，即A0（这时B0），或A 故所求直线l的方程为y4或3x4y130．

3B0． 4点评：对求过定点（x0，y0）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: A(xx0)B(yy0)0，注意的此方程表示的是过点P(x0，y0)的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

练习： 过点P(1，4)作圆(x2)(y3)1的切线l，求切线l的方程． 解：设所求直线l的方程为A(x1)B(y4)0（其中A， ，B不全为零） 则整理有AxByA4B0，

22 ∵直线l与圆相切，∴圆心C(2，3)到直线l的距离等于半径1，故2A3BA4BAB221，

整理，得A(4A3B)0，即A0（这时B0），或A 故所求直线l的方程为y4或3x4y130．

2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

3B0． 4过直线l：A1xB1yC10（A1,B1不同时为0）与m：A2xB2yC20（A2,B2不同时为0）交点的直线系方程为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（R，为参数）.

例2 求过直线：x2y10与直线：2xy10的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：x2y1(2xy1)0， 当直线过原点时，则1=0，则=－1，

此时所求直线方程为：x2y0； 当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=令y=0，解得x=1， 21， 21111由题意得，=，解得，

3221此时，所求直线方程为：5x5y40.

综上所述，所求直线方程为：x2y0或5x5y40. 3、求直线系方程过定点问题

例3 证明：直线mxym10(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(x1)my10,

∵m∈R, ∴x10，解得，x1，y1，

y10∴直线mxym10(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.

（特殊直线法）取m=0，m=1得，y1，xy20，联立解得，x1，y1， 将（1,1）代入mxym10检验满足方程，

∴直线mxym10(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.

点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于x,y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.

一、常见的圆系方程有如下几种：

1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(xa)(yb)(0)

与圆xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：xy＋Dx＋Ey＋＝０

2222222xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＋2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆xy＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：（Ax＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ）

3、过两圆C1:xy＋D1xE1yF1＝0，C2:xy＋D2xE2yF2＝０交点的圆系方程为：xy＋

2222222222D1xE1yF1＋（x2y2＋D2xE2yF2）＝0（≠-１，此圆系不含C2:x2y2＋D2xE2yF2＝

０）

特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方

22程:xyD1xE1yF1[(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)]0

二、圆系方程在解题中的应用：

1、利用圆系方程求圆的方程：

例 求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

例１、求经过两圆xy＋3x－y－2＝０和3x3y＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：

（xy＋3x－y－2）＋（3x3y＋2x＋y＋１）＝０

∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋＝０． 从而＝２

故所求的圆的方程为： (xy3xy2)2(3x3y2xy1)0 即 7x7y＋7x＋y＝０。

练习：求经过两圆x2+y2+6x4=0和x2+y2+6y28=0的交点,并且圆心在直线xy4=0上的圆的方程. 1解: 构造方程 x2+y2+6x4+λ(x2+y2+6y28)=0 即 (1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy(4+28λ)=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为(当该圆心在直线xy4=0上时,即

2222222

2

2

2

2222222233,) 113340,得7. 11∴ 所求圆方程为 x2+y2x+7y32=0

练习:求与圆x2y24x2y200切于A(1,3),且过B(2,0)的圆的方程.

解：过A(1,3)的圆的切线为3x4y150。与已知圆构造圆系x2y24x2y20(3x4y15)0，8代入(2,0)得,所以所求圆方程为77x27y24x18y200.2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：

例2（1）：求过两圆xy5和(x1)(y1)16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆xy5和(x1)(y1)16的公共弦方程为2x2y110

22222222

过直线2x2y110与圆xy5的交点的圆系方程为

22x2y225(2x2y11)0，即x2y22x2y(1125)0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心(,)必在公共弦所在直线2x2y110上。即22110，则代回圆系方程得所求圆方程(x11 41121179 )(y)244822例２（2）; 求经过直线l：2x＋y＋4＝０与圆Ｃ：xy＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．

解：设圆的方程为：xy＋2x－4y＋1＋（2x＋y＋4）＝０

2即xy＋2(1)x(4)y＋（1＋4）＝０则r222215844(1)2(4)24(14)()2，4455当＝

822时，r2最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：5x5y＋26x－12y＋37＝０ 5练习：

1．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）

2．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零） 3．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上） 4．求经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）

3、利用圆系方程求参数的值：

例3：已知圆xyx6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。

分析：此题最易想到设出P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OPOQ得到x1x2y1y20，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线x2y30与圆xyx6ym0的交点的圆系方程为：

22222

22

22

22

2

x2y2x6ym(x2y3)0，即

xy(1)x2(3)ym30………………….① 依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心(2211,3)显然在直线x2y30上，则2(3)30，22解之可得1又O(0,0)满足方程①，则m30，故m3。 4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：

22例4 圆系xy＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝０（kＲ，k≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？

解：圆系方程可化为：xy＋10y＋20＋k（2x＋4y＋10）＝０

22x2y502x4y100∵ 与k无关 ∴ 2 即2 22x(y5)5xy10y20022易知圆心（０，-５）到直线x＋2y＋5＝０的距离恰等于圆x(y5)＝５的半径．故直线x＋2y＋5＝０与圆

x2(y5)2＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故

它们的关系是外切或内切．

总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。 练习：

一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程

例1求过圆：x+y2x+2y+1=0与圆：x+y+4x2y4=0的交点，圆心在直线：x2y50的圆的方程.

分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.

解析：设所求圆的方程为：x+y2x+2y+1+(x+y+4x2y4)=0(≠1). 整理得 (1)x(1)y(42)x2(1)y14=0， 所以所求圆的圆心为(2222222222121,)， 11由已知知所求圆的圆心在直线：x2y50上，

12125＝0，解得，=8，代入圆系方程整理得， 1134183322所以，所求圆的方程为xyxy0.

777所以

点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程

表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数不等于1这一条件，同学们应很好掌握这一方法.

二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程

例2已知圆O：xy2x4y10和圆外一点A（3，4），过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程.

分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.

解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,2)，

22∴|AO|=(31)(42)=210，线段AO的中点为（2，1），

22∴以线段AO为直径的圆的方程为，(x2)(y1)10，即

22x2y24x2y50，

圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0， ∴直线CD的方程为x+3y+3=0.

点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.

例如：求与圆x2+y2－4x－2y－20=0切于A(―1,―3)，且过B(2,0)的圆的方程。 解：过A(―1,―3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系： x2+y2－4x－2y－20+(3x+4y+15)=0 ∵曲线过B(2,0) ∴=

8 7∴所求的方程为：7x2+7y2－4x+18y－20=0

例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=16和x2+y2－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。 分析：由x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。 解： ∵x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1 ∴这两圆是外切

∴(x2+y2－6x+8y+24)－(x2+y2－16)=03x－4y－20=0 ∴所求的两圆内公切线的方程为：3x－4y－20=0

学生注意：对于不同心的两个圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，圆系方程C1+C2=0

补充：