自适应小波阈值去噪算法及在图像处理中的应用

第３２卷第７期　２　０　１　１年７月　兵　工　学　报　Ｖｏ１．３２　ＮＯ．７　ＡＣＴＡ　ＡＲＭＡＭＥＮＴＡＲＩＩ　Ｊｕ１．　２０１１　自适应小波阈值去噪算法及在图像处理中的应用　林杰，付梦印，李道平　（北京理工大学自动化学院，北京１０００８１）　摘要：针对图像去噪的问题，提出一种基于自适应小波阈值去噪的算法。该方法根据噪声在　小波变换下的特性自适应确定小波分解的阈值，并将去噪图像的峰值信噪比作为性能指标，采用中　点法进行寻优，得到最优的阈值参数。该方法具有自适应性强、算法简单、去噪效果好等特点。通　过实例表明，该方法比原有的阂值去噪算法去噪效果更佳，使图像达到更良好的视觉效果。　关键词：信息处理技术；自适应；小波变换；图像去噪；中点法　中图分类号：ＴＰ３９１．４１　文献标志码：Ａ　文章编号：１０００．１０９３（２０１１）０７－０８９６－０５　Ｓｅｌｆ－ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｗａｖｅｌｅｔ　Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　Ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ＬＩＮ　Ｊｉｅ，ＦＵ　Ｍｅｎｇ—ｙｉｎ，ＬＩ　Ｄａｏ—ｐｉｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００８１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｍａｇｅ　ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ，ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｅｌｆ—ａｄａｐｔｉｖｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ａｌ－　ｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｉｔ　ｃａｎ　ｄｅｃｉｄｅ　ｔｈｅ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｏｆ　ｗａｖｅｌｅｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｏｉｓｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｉｎ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｔｈｅｎ　ｔａｋｅｓ　ＰＳＮＲ　ａｓ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｉｌｔｅｒ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ａｎｄ　ａｃｑｕｉｒｅｓ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｍｉｄｐｏｉｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｉｔ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｔｒｏｎｇ　ｓｅｌｆ—ａｄａｐｔａｔｉｏｎ，ｓｉｍｐｌｅ　ｃａｌｃｕｌａ—　ｔｉｏｎ，ｇｏｏｄ　ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｍｕｃｈ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｎｄ　ａｃｈｉｅｖｅｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｖｉｓｕａｌ　ｅｆｆｅｃｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｓｅｌｆ—ａｄａｐｔｉｖｅ；ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｉｍａｇｅ　ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ；ｍｉｄｐｏｉｎｔ　ｍｅｔｈＯｄ　从自然界获得的图像大部分都不可避免地含有　于贝叶斯理论降噪的方法，根据大量统计的结果为　各种噪声，为了提高图像的有效性，为进一步研究　做好准备，需要采用一定的方法去除图像中存在的　噪声。小波变换…是目前信号处理中最新的方法　之一，由于它在时域和频域同时具有良好的局部化　性质　，可以对指定频带和时间段内的信号成分进　小波系数选择一个先验概率模型，如广义高斯模型　（ＧＧＤ）　，高斯混合模型（ＧＭ）　或（ＧＳＭ）　等，　并通过最小化贝叶斯估计风险来获得小波系数的最　优估计，如贝叶斯最小平方一高斯概率混合模型　（ＢＬＳ—ＧＳＭ）算法　等。而阈值去噪方法则是采用　行分析等特点，因此在图像处理中有着广泛的应用。　利用小波变换对图像进行降噪的方法主要有阈　给出固定的阈值并将小波变换中小于该值的系数置　零的方法，如硬阈值法和软阈值法　，虽然在效果　上可能略逊色于基于统计估计的方法，但是因为其　值去噪方法和基于贝叶斯估计理论的去噪方法。基　收稿日期：２００９—０９—１１　作者简介：林杰（１９７７一），男，助理研究员，博士研究生。Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｎｊａｓｏｎ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ；　付梦印（１９６４一），男，教授，博士生导师。Ｅ—ｍａｉｌ：　ｍｙ＠ｂｉｔ　ｅｄｕ．ｏｎ　第７期　自适应小波阈值去噪算法及在图像处理中的应用　８９７　形式简单，算法复杂度低，因此在一些方面如工业实　函数在中点处一阶导数的正负来缩小搜索的区间。　时系统上也具有一定的应用价值。　设待优化的问题为ｍｉｎｆ（　），待搜索的区间为　［Ｏ／，卢］，令　：（／３＋Ｏ／）／２，计算ｆ（　）在　点的一阶导　在阈值去噪方法中，硬阈值法和软阈值法本身　存在一些不足之处，如硬阈值法的阈值函数具有不　连续性，重构所得的信号会产生伪吉布斯效应；而软　阈值方法估计后的小波系数和分解得到的小波系数　数厂（　），若厂（　）＞１０，则去掉区间［／ｚ，　］，否则去掉　区间［Ｏｔ，　］．由于每次去掉区间长度为上一次区间　长度的１／２，所以中点法每次迭代区间的缩减比为　总存在恒定的偏差，直接影响着重构信号与真实信　号的逼近程度。为了保证图像的连续性和细节的保　留，并提高图像的峰值信噪比（ＰＳＮＲ），需要对原有　的算法作出一些改进。文献［８］提出一种改进的阈　值去噪算法，是根据经验给出的折中结果，并没有给　出一个可靠的根据，也没有对不同参数时的去噪结　果做出比较。　本文在文献［８］提出的阈值去噪算法的基础　上，通过噪声在小波变换下的特性自适应地确定小　波分解的阈值，将ＰＳＮＲ作为滤波器参数的函数，采　用缩小区间的搜索算法——中点法　进行寻优，得　到使ＰＳＮＲ最大的阈值函数参数，有效的去除了系　统的噪声并达到了良好的去噪效果。　１　自适应小波阈值去噪算法的数学基础　１．１小波变换及其Ｍａｌｌａｔ算法　文献［３］中给出了多分辨分析的概念，并利用　双尺度方程和小波方程得到了递推的塔式算法，即　Ｍａｌｌａｔ算法。　设信号．厂（　）可分解为　厂（　）＝∑∑ｄｉ，　（　）＋∑ｃ¨　¨（　），　Ｍ≤，＜　∈Ｚ　Ｅ　（１）　式中：　（　）为尺度函数；　（　）为小波基函数。设ｈ　和ｇ　是咖（　）所对应的小波变换的共轭镜像滤波　器，则厂（　）的正交小波变换分解公式为　ｆＣｊ，　＾ｎ一２ｋ。Ｊ＋１　ｌｎ，　？　（２）　＝∑ｇｎ－２１￣ｄｊ＋．　．．　（２）式由　十１．　计算Ｃｊ、　，　，　的算法称为Ｍａｌｌａｔ分　解算法。利用该分解算法可以计算出不同层上的小　波展开系数ｄｊ＝，　Ｊ一１，Ｊ一２，…，ｔ，一Ｍ和在较　“粗”尺度子空间中的尺度函数展开系数ｃ，一　．　１．２　中点法　中点法　是一种常用的缩小区间的搜索算法，　该方法每次选取整个不确定区间的一个中点，通过　１／２．　２　自适应小波阈值去噪算法　将原有信号利用小波变换的Ｍａｌｌａｔ算法对其进　行分解，在不同的尺度上各小波变换的系数进行阈　值处理，然后再进行重构得到新信号。目前最常用　的阈值去噪方法主要有硬阈值法与软阈值法　］。　Ｄｅｎｏｈｏ…提出了一种对小波系数　进行估计　的非常简洁的方法，即寻找一合适的数Ａ作为阈值　（ｆ－ｉ限），把低于Ａ的小波系数（主要由噪声引起）设　为０，而对高于Ａ的系数（主要由信号引起）予以保　留或进行收缩，从而得到估计小波系数　ｍ．估计小　波系数的方法如下：　令Ａ：　，则硬阈值法定义为　㈩　软阈值法定义为　＝，　｛　“‘埘　’‘　一Ａ’’　：　：：：　ｃ４　虽然这２种方法在实际中得到广泛应用，也取　得了较好效果，但方法本身有一些潜在的缺点。如　在硬阈值方法中，ｗ　在Ａ处是不连续的，利用面ｍ　重构所得信号可能会产生一些振荡；由软阈值法估　计出来的　虽然整体连续性好，但是当Ｉ　Ｉ＞Ａ　，　时，　与Ｗ　总存在恒定的偏差，直接影响重构信　号与真实信号的逼近程度。鉴于此，本文选取了一　个新的阈值函数，并利用寻优算法获得最优的阈值　参数，从而克服了硬阈值法和软阈值法的存在的不　足。　文献［８］中提出了一种新阈值函数的选取方　法：　Ｊ，＾＝　』ｓｉｓｎ（ｚ　，　）（，　，　，一　Ａ＋　），，　，　，≥Ａ；　【０，　ｌＷ　Ｉ＜Ａ．　（５）　８９８　兵　工　学　报　３　算法实例　第３２卷　式中：　∈［０，１］．当Ｏｔ分别取０和１值，（５）式即成　为形如（３）式和（４）式的硬阈值法和软阈值法。对　于一般的Ｏｔ∈（０，１）来讲，该方法估计出来的系数　为了验证本文的新算法的有效性，采用标准测　介于软硬阈值法之间。由于采用单纯的软阈值　法估计出来的　…其绝对值总比Ｗ　要小，因此要　设法减小此偏差；但若把这种偏差减小为０就成了　试图像Ｌｅｎｎａ、Ｂａｒａｒａ和Ｈｏｕｓｅ三幅图像为例，对算　法进行验证。　考虑算法的计算量和去噪的效果，实验中选取　硬阈值情况，也不是最好的，因为Ｗ，　本身就是由　ｄＢ４小波。对于分解尺度的选取，过高的分解尺度　会带来较大的计算量，并且在实验中发现并非分解　和　组成的，它可能由于Ｖｉ的影响而使Ｉ　似Ｉ＞　，　，　Ｉ“似Ｉ，而算法的目的是使Ｉ　一，　“ｍ　Ｉ最小，因此，令　Ｉ　Ｗｍ　Ｉ的取值介于１　ｗ　Ｉ—Ａ与Ｉ　Ｗｍ　Ｉ之间可能会使　估计出来的小波系数ｗ　更加接近于“　基于这一　思想，在阈值估计器中的　因子可以看成一个自变　量，而将去噪结果ＰＳＮＲ看成Ｏ／的函数，采用缩小区　间的寻优算法中点法寻优，就可以找到使ＰＳＮＲ最　大的　取值，可以获得更好的去噪效果。自适应小　波滤波器结构如图１所示。　图１　自适应小渡滤波器结构　Ｆｉｇ．１　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｓｅｌｆ—ａｄａｐｔｉｖｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｆｉｌｔｅｒ　噪声方差的估计采用文献［１０］给出的估计方法：　，　Ｍｅｄｉａｎ（ｆ　Ｗ，　Ｉ）　“　，Ｊ一０．６４７　５　综上所述，本文提出的去噪算法的步骤如下：　１）对阈值函数的参数凸！给出初始值　＝０和　＝１，令ｉ＝１，设Ⅳ为算法需要迭代的次数。　２）分别计算参数　取　和Ｏｔ　时对图像进行　去噪处理，计算去噪图像的峰值信噪比是ＰＳＮＲ，和　ＰＳＮＲ２．　３）计算　ｌ和Ｏ／２的中点Ｏ／　＝（　１＋　２）／２，并　代入阈值函数，对图像进行去噪处理，计算去噪图像　的峰值信噪比是ＰＳＮＲ　４）计算ＰＳＮＲ以　为变量的函数在　点处的　微分值ＰＳＮＲ＂　．　如果ＰＳＮＲ　ｉｄ≥０，则Ｏ／ｌ＝Ｏ／　，ＰＳＮＲｌ＝　ＰＳＮＲ　ｉｄ，否贝０，　２＝　。ｄ，ＰＳＮＲ　。ｄ＝ＰＳＮＲ２．　５）判断ｉ＜Ｎ是否成立，是则算法结束；否则令　ｉ＝ｉ＋１，返回步骤２）．　则　为最优的阈值参数，对应的ＰＳＮＲ　为最　大的峰值信噪比。　尺度越高去噪性能越好，经过权衡后选取尺度为４．　图２为对Ｌｅｎｎａ图像加载均值为０方差为３０　的高斯白噪声时，以　为自变量，ＰＳＮＲ作为函数值　绘制的曲线。　图２　ＰＳＮＲ随Ｏｔ变化的曲线　Ｆｉｇ．２　ＰＳＮＲ　ＶＳ．Ｏｔ　从图２中可以看出，对于采用阈值去噪算法降　噪的结果中，ＰＳＮＲ是　的强单峰函数，存在最大值　点，比　＝０时采用的硬阈值法和Ｏ／＝１时的软阈值　法的峰值信噪比都要高，因此根据利用中点法可以　寻找到这个最大值点。　表１为采用本文的新算法对３幅测试图像分别　叠加均值为０，均方差分别为２０，３０，４０，５０的高　斯白噪声时的去噪结果并与软阈值法、硬阈值法、文　献［８］中取的软硬折中法和文献［１１］中的Ｂａｙｅｓ软　阈值法的结果比较。　从表１中可以看出对３幅图像去噪的结果，采　用本文的改进方法并采用最优的参数下的ＰＳＮＲ　是最高的，比软阈值法的结果和硬阈值法的结果　都大，甚至略高于Ｂａｙｅｓ软阈值的结果，而且也可　以看出文献［８］中折中选取Ｏｔ＝０．５也并不是最　好的结果。　图３为对Ｌｅｎｎａ图像加载均值为０方差为３０　的高斯白噪声时，采用本文的新算法中获得的最优　参数时的降噪结果及同软阈值法、硬阈值法、软硬折　第７期　自适应小波阈值去噪算法及在图像处理中的应用　８９９　中法和贝叶斯软阈值法的比较，其中图３（ａ）为原始　像（Ｏ／＝１），图３（ｅ）为采用文献［８］算法取　＝０．５　图像，图３（ｂ）为染噪信号，图３（ｃ）为软阈值法去噪　后的图像（　＝０），图３（ｄ）为硬阈值法去噪后的图　折中时迭代的结果。图３（ｇ）为采用最优参数　＝　０．７４９　０的本文提出的新算法的去噪结果。　表１　不同算法的去噪结果（ＰＳＮＲ）　Ｔａｂ．１　Ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄｓ（ＰＳＮＲ）　■■■■　■■■　（ａ）原始图像　（ｂ）＇染噪图像　（ｃ）软阈值法　（ｄ）硬阈值法　（ａ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｉｍａｇｅ　ｆｂ）Ｉｍａｇｅ　ｗｉｔｈ　ｎｏｉｓｅ　（Ｃ）Ｓｏｆｔ—ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　（ｄ）Ｈａｒｄ—ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｅ）软硬折中法　（ｆ）贝叶斯软闽值法　（　本文新算法　（ｅ）Ｃｏｍｐｒｏｍｉｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ（ａ＝Ｏ．５）　（ｆ）Ｂａｙｅｓ　ｓｏｆｔ—ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｍｅｔｈｏｄ　（曲Ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ（ｔ￣＝－０．７４９　０）　图３　最优参数的降噪结果及同其他算法的比较　Ｆｉｇ．３　Ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｗｉｔｈ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ａｎｄ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｗｉｔｈ　ｏｔｈｅｒ　ｍｅｔｈｏｄｓ　从图３中可以看出，采用本文的改进方法去噪　后的图像实际视觉效果也相对较好，既表现出了清　４　结论　根据噪声的小波系数特征，通过分析得出自适　晰的边缘轮廓，也保护了头发和纹理等细节信息，在　一定程度上克服了软阈值法和硬阈值的不足，达到　了良好的去噪效果。　应小波阈值去噪算法，对小波系数阈值量化的改进　方案做了详细的分析和讨论，采用缩小区间的优化　９０Ｏ　兵　工　学　报　第３２卷　算法——中点法，找到了最优的阈值量参数，实现了　图像的高质量的去噪，达到了良好的视觉效果。　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）　［１　Ｊ　彭玉华．小波变换与工程应用［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９：　１～１３７．　ＰＥＮＧ　Ｙｕ—ｈｕａ．Ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ，１９９９：１—１３７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［２］　Ｄｒｉｅｓｅｎ　Ｊ，Ｇｒａｅｅｎｂｒｏｅｃｋ　Ｔ　Ｖ，Ｒｅｅｋｍａｎｓ　Ｒ，ｅｔ　ａ１．Ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ｕｓｉｎｇ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｃ］∥ＩＥＥＥ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｂｒｕｓ—　ｓｅｌｓ：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，１９９６：４７４—４７９．　［３］　Ｍａｌｌａｔ　Ｓ　Ｇ．Ａ　ｔｈｅｏｒｙ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ｔｈｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｐａｔｔｅｒｎ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｍａ－　ｃｈｉｎｅ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９８９，１１（７）：６７４—６９３．　［４］　Ｃｈｉｐｍａｎ　Ｈ　Ａ．Ｋｏｌａｃｘｙｋ　Ｅ　Ｄ．ＭｅＣｕｌｌｏｃｈ　Ｒ　Ｅ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂａｙｅｓｉａｎ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｓｈｒｉｎｋａｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ，　１９９７，９２（４４０）：１４１３—１４２１．　［５］　Ｐｏｒｔｉｌｌａ　Ｊ，Ｓｔｒｅｌａ　Ｖ，Ｗａｉｎｗｒｉｇｈｔ　Ｍ　Ｊ，ｅｔ　ａ１．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｗｉｅｎｅｒ　ｄｅ－　ｎｏｉｓｉｎｇ　ｕｓｉｎｇ　ａ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｓｃａｌｅ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｄｏ—　ｍａｉｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，　２００１．２：３７—４０．　［６］Ｐｏｒｔｉｌｌａ　Ｊ，Ｓｔｒｅｌａ　Ｖ，Ｗａｉｎｗｒｉｇｈｔ　Ｍ　Ｊ，ｅｔ　ａ１．Ｉｍａｇｅ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　ｕｓｉｎｇ　ｓｃａｌｅ　ｍｉｘｔｕｒｅｓ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｄｏｍａｉｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００３，１２（１１）：１３３８—１３５１．　［７］Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ　Ｌ，Ｄｅ—ｎｏｉｓｉｎｇ　ｂｙ　ｓｏｆｔ—ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｉｎ—　ｆｏｒｍ　Ｔｈｅｏ￣，１９９５，４１（３）：６１３—６２７．　［８］　张文娟，周丹丹，王林．小波阈值去噪的一种改进方案［Ｊ］．　电脑开发与应用，２００７，２０（９）：２８～２９．　ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｎ－ｊｕａｎ，ＺＨＯＵ　Ｄａｎ・ｄａｎ，ＷＡＮＧ　Ｌｉｎ．Ａ　ｍｏｄｉｉｆｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｔｈｅ　Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，２００７，２０（１）：２８—２９．（ｉｎ　Ｃｈｉ－　ｎｅｓｅ）　［９］　吴祈宗．运筹学与最优化方法［Ｍ］．北京：机械工业出版社，　２００３：９５—９７．　ｗｕ　Ｑｉ—ｚｏｎｇ．Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｉｎｄｕｓｔｙｒ　Ｐｒｅｓｓ，２００３：９５—９７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１０］Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ　Ｌ，Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ　Ｉ　Ｍ．Ｉｄｅａｌ　ｓｐａｔｉａｌ　ａｄａｐｔａｔｉｏｎ　ｖｉａ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｓｈｒｉｎｋａｇｅ［Ｊ］．Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ，１９９４，８１：４２５—４５５．　［１　１］　Ｃｈａｎｇ　Ｓ　Ｇ，Ｂｉｎ　Ｙｕ，Ｖｅｔｔｅｒｌｉ　Ｍ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ　ｆｏｒ　ｉｍａｇｅ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏ－　ｅｅｓｓｉｎｇ，２０００，９（９）：１５３２—１５４６．