圆的方程

圆的方程

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来源：《数学金刊·高考版》2015年第04期

圆的方程是高考重点考查的内容.主要考查圆的方程的求法，常出现在选择题和填空题中，有时也作为解答题中的一个环节进行考查. （1）圆的方程的形式及应用. （2）利用待定系数法求圆的方程.

（1）熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点.

（2）会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择.求圆的方程的两种方法：①几何法：通过研究圆的性质及直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；②代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

例1 已知平面区域x≥0，y≥0，x+2y-4≤0恰好被面积最小的圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________.

破解思路 本题图形已经给出，可以利用相应几何知识找出圆心和半径，进而写出圆的方程.

答案详解 由题意知，此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点（2，1），半径为 = ，所以圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5. 例2 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；

（3）圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

破解思路 本题涉及函数以及圆的方程的相关知识. 由已知，圆上三点的坐标易于求得，故可以采用待定系数法表示相关圆的方程.

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答案详解 （1）因为f（x）与两坐标轴有三个交点，所以其必与y轴有一个交点，与x轴有两个交点. 令x=0，得抛物线与y轴的交点（0，b）（b≠0）. 令f（x）=x2+2x+b=0，则它有两个不同的解，所以Δ=4-4b>0，解得b

（2）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，其解是圆与x轴交点的横坐标. 所以x2+Dx+F=x2+2x+b=0，所以D=2，F=b. 令x=0得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，所以E=-1-b.

综上所述，所求圆的方程是x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圆C必过定点（0，1）和（-2，1）. 当y=1时，x2+2x=0，解得x=0，x=-2. 所以圆C过定点（0，1）和（-2，1）.

1. 圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的方程为_________.

2. 已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P′（b+1，a-1），则圆C：x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C′的方程为________.