对一个数学问题的再探究

对一个数学问题的再探究

作者：邓灵旺

来源：《旅游纵览·行业版》2012年第08期

摘 要：高等数学历来是广大高等院校重点开设的一门课程，也是大部分高校学生必须学习的一门课程。本文从作者的学习经验出发，就高等数学学习过程中的部分方法作出相关探讨。

关键词：数学问题； 探究

《数学通报》问题1662，求函数f(x)=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx的值域，其解答利用切割化弦和换元法求得值域为。文[1]对该问题进行了以下两个探究 探究1 求函数 （n为大于1的整数，0 探究2 求函数

（n为正偶数）的最小值。

对于探究1，我们利用不等式知识行了部分的调整与优化，其过程如下

对于探究2，文[1]利用了拆项添项的方法以构造AM—GM不等式成立的条件并结合三角函数的平方和关系求得其最小值，事实上问题十分简单，因为n为偶数，所以是一个周期函数，且周期为。所以f(x)的最小值就是 f (x)在（0，）上的最小值，因此 f (x)的最小值仍是2（）

对于探究2，文[1]没有给出n为奇数的解法，我们对n为奇数的情况进行了探讨，得到了如下结论

探求3 求的值域

分析：当n=1时，就是问题1622，其值域为 当n为偶数时，就是探究2，其值域为 当n为奇数时，且n≥3时

所以，当，而 f(x)在上是连续函数，故 f(x)在是的值域为，从而 f(x)的值域为。

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综上所述：

当n=1时，f(x)的值域为 当n为偶数时，其值域为

当n为大于或等于3的奇数时，其值域为。 参考文献：

[1]罗建宁，一个数学问题的探究，数学通讯，2007（23）